如果曲线
存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知
，设曲线在点
处的切线为
．
(1)当
时，求实数
的值；
(2)当
，
时，是否存在直线
满足
，且与曲线相切？请说明理由；
(3)当
时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合
；若对任意
，曲线都不存在与垂直的切线，求
的取值范围．
存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为．(1)当
时，求实数的值；(2)当
，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；(3)当
时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围．
2023·上海闵行·二模 查看更多[5]
湖北省襄阳市第五中学2023届高三下学期适应性考试（一）数学试题（已下线）专题08 平面解析几何-学易金卷（已下线）专题02 函数及其应用（已下线）专题03 导数及其应用上海市闵行区2023届高三二模数学试题
更新时间：2023-04-14 11:53:11
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
【推荐1】已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数的图象与函数
的图象仅有一个交点M，求证：曲线与在点M处有相同的切线，且
．
，．(1)讨论函数
的单调性；(2)若函数
的图象与函数的图象仅有一个交点M，求证：曲线与在点M处有相同的切线，且．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐2】已和函数
，
，其中
为自然对数的底数，
.
（1）若
，求函数
的单调增区间（用
表示）；
（2）若对任意的
，
（仅当
时，“
”成立），求
的值；
（3）若
，试确定曲线与的公切线的条数.
，，其中为自然对数的底数，.（1）若
，求函数的单调增区间（用表示）；（2）若对任意的
，（仅当时，“”成立），求的值；（3）若
，试确定曲线与的公切线的条数.
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐3】已知
，
（1）求
的单调区间；
（2）若，
在其公共点
处切线相同，求实数a的值；
（3）记
，若函数
存在两个零点，求实数a的取值范围.
，（1）求
的单调区间；（2）若
，在其公共点处切线相同，求实数a的值；（3）记
，若函数存在两个零点，求实数a的取值范围.
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐1】设函数
，
．
（1）若
在
上仅有一个零点，求a的取值范围；
（2）若
，试讨论方程
在
上的根的个数．
，．（1）若
在上仅有一个零点，求a的取值范围；（2）若
，试讨论方程在上的根的个数．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐2】已知函数
.
（1）讨论的单调性；
（2）讨论关于
的方程
的实根的个数.
.（1）讨论
的单调性；（2）讨论关于
的方程的实根的个数.
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.
；
时，存在
使
.
解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐1】帕德近似（Pade approximation）是有理函数逼近的一种方法.已知函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，….又函数
，其中
.
(1)求实数，
，
的值；
(2)若函数
的图象与轴交于
，
两点，
，且
恒成立，求实数
的取值范围.
在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，….又函数，其中.(1)求实数
，，的值；(2)若函数
的图象与轴交于，两点，，且恒成立，求实数的取值范围.
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困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐2】帕德近似是法国数学家亨利
帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，
，函数在处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，
，
，注：
，
，
，
，已知函数
.
(1)求函数在处的
阶帕德近似
.
(2)在（1）的条件下： ①求证：
；
②若
恒成立，求实数的取值范围.
帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，已知函数.(1)求函数
在处的阶帕德近似.(2)在（1）的条件下： ①求证：
；②若
恒成立，求实数的取值范围.
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，
，
．
的值；
对
恒成立，求a的最小值；
时，求证：
．
