【推荐1】数列的数列的首项，前n项和为，若数列满足：对任意正整数n，k，当时，总成立，则称数列是“数列”
（1）若是公比为2的等比数列，试判断是否为“”数列？
（2）若是公差为d的等差数列，且是“数列”，求实数d的值；
（3）若数列既是“”，又是“”，求证：数列为等差数列.

【推荐2】已知函数，记，且，

(1)求，；
(2)设，，

（i）证明：数列是等差数列；

（ii）求数列的前n项和．

【推荐3】设函数，，数列满足条件:对于，，且，并有关系式:，又设数列满足(且，).
（1）求证数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）试问数列是否为等差数列，如果是，请写出公差，如果不是，说明理由；
（3）若，记，，设数列的前项和为，数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.

【推荐1】已知数列满足，，正项数列满足，且是公比为3的等比数列.
（1）求及的通项公式；
（2）设为的前项和，若恒成立，求正整数的最小值.

【推荐2】记数列的前n项和为，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为
若是等差数列，项数n为偶数，首项，公差，且，求；
若数列的首项，满足，其中实常数，且，请写出满足上述条件常数t的两个不同的值和它们所对应的数列．

【推荐1】设数列前项和为，且．其中为实常数，且．
（1）求证：是等比数列；
（2）若数列的公比满足且，求的通项公式；
（3）若时，设，是否存在最大的正整数，使得对任意均有成立，若存在求出的值，若不存在请说明理由．

【推荐2】2019年7月1日到3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图的频率分布直方图．

（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航量程X近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率；
（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正，反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格……第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为，试证明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．

【推荐3】已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项中最大值为，最小值为，令，称数列是数列的“中程数数列”.若（且），求所有满足条件的实数对.

【推荐1】在数列中，，，其前项和满足
(1)求数列的通项公式；
(2)设，如果对任意的有恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，，求证：数列是等差数列.

【推荐2】已知等差数列与等比数列满足，，，且既是和的等差中项，又是其等比中项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，其中，求数列的前项和；
(3)记，其前n项和为，若对恒成立，求的最小值．

【推荐3】已知数列，
(1)记，求的取值范围；
(2)记，问：是否为定值？如果是，请证明，如果不是，请说明理由．