1 . 已知.
(1)求不等式的解集；
(2)令的最小值为，若正数满足，证明：.

2 . 已知关于x的方程有一个根为．
(1)求证：方程有一个根为的充要条件是；
(2)若，解关于x的不等式．

3 . 已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)记函数的最小值为，正实数，满足，求证：

4 . 已知函数，．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)求证：R，．

5 . 已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)设函数在上的最小值为m，正数a，b满足，求证：．

6 . 表示不超过的最大整数，例.已知函数，.
(1)求函数的定义域；
(2)求证：当且时，总有，并指出当为何值时取等号；
(3)解关于的不等式.

7 . 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数.且函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”
(1)判断函数和函数是否存在“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）
(2)如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值；
(3)如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围.

8 . 已知二次函数满足：①对任意实数x，都有；②当时，有成立.
(1)求证：；
(2)若，求函数的解析式；
(3)在（2）的条件下，若对任意的实数，有恒成立，求实数m的取值范围.

9 . 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.
（1）若数列1，2，，8是数列，求实数的取值范围；
（2）设数列，，，，是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；
（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列、是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为、，求证：当且时，数列不是数列.

10 . 已知集合中的元素都是正整数，且，集合具有性质：对任意的，且，都有.
（1）判断集合是否具有性质；
（2）求证：；
（3）求集合中元素个数的最大值，并说明理由.