1 . 如果无穷项的数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”．
(1)若数列是等差数列，首项，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；
(2)若等差数列具有“性质P”，为首项，为公差．求证：且；
(3)若等比数列具有“性质P”，公比为正整数，且这四个数中恰有两个出现在中，问这两个数所有可能的情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由．

2 . 已知集合（是整数集，m是大于3的正整数）．若含有m项的数列满足：任意的，都有，且当时有，当时有或，则称该数列为P数列．
(1)写出所有满足m=5且的P数列；
(2)若数列为P数列，证明：不可能是等差数列；
(3)已知含有100项的P数列满足是公差为等差数列，求d所有可能的值．

3 . 已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n(n∈N*)，且a₃＝a₂+2，a₂•a₄＝16.数列{b_n}的前n项和为T_n，且，.
（1）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n；
（2）证明数列{b_n}为等差数列，并求出{b_n}的通项公式；
（3）设数列，问是否存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c_m，c_n，c_l成等差数列，若存在，求出所有满足要求的m，n，l；若不存在，请说明理由.

4 . （1）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，R表示的外接圆半径.
①如图，在以O圆心、半径为2的圆O中，和是圆O的弦，其中，，求弦的长；
②在中，若是钝角，求证：；

（2）给定三个正实数a、b、R，其中，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用a、b、R表示c.

5 . 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.
（1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由；
（2）设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；
（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”.

6 . 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，满足，S₄+2S₂=3S₃，数列{b_n}满足b₁=0，且n(b_n+1+1)-(n+1)(b_n+1)=n(n+1)（n∈N* ）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列前n项和为T_n，证明：T_n <2（n∈N*）.