1 . 已知分别为双曲线和双曲线上不与顶点重合的点，且的中点在双曲线的渐近线上.
(1)设的斜率分别为，求证：为定值；
(2)判断的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.

2 . 已知函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)求证：有唯一极值点，且.

3 . 已知椭圆经过点，离心率为，动点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；
(3)设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，证明线段的长为定值，并求出这个定值.

4 . 已知函数（其中），．
(1)证明：函数在区间上单调递增；
(2)判断方程在R上的实根个数．

5 . 双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且焦点到其渐近线的距离为2．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其渐近线分别交于，（从左至右）两点．
①证明：；
②是否存在这样的直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

6 . 已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若，试研究的单调性；
（3）若，是函数的两个零点，且，求证：.

7 . 已知（）．
（Ⅰ）判断当时的单调性；
（Ⅱ）若，（）为两个极值点，求证：．

8 . 已知函数.
（1）若，求函数的所有零点；
（2）若，证明函数不存在的极值.

9 . 已知函数.
（1）当，求函数的单调区间；
（2）证明：当时，.

10 . 已知函数
（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（2）当时，证明：．