1 . 已知椭圆：的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线：与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的上顶点，过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点，并求出该定点．

2 . 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）对任意，求证：

3 . 已知函数.
（1）当时，求证：；
（2）当时，，求实数的取值范围.

4 . 设椭圆，椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点．椭圆的离心率为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重合），证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值．

5 . 已知函数.
（1）若存在极值，求的取值范围；
（2）当时，求证：.

6 . 已知实数，函数．
（1）若函数在中有极值，求实数的取值范围；
（2）若函数有唯一的零点，求证：．
（参考数据，）

7 . 已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点A（2，1）在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）不过点A的直线l与椭圆相交于不同的两点M，N，若直线AM与直线AN的斜率k₁，k₂总满足k₁k₂＝﹣，求证：直线l必过定点.

8 . 已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）当时，证明：．

9 . 已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）若对任意实数x都有成立，求的取值范围；
（2）当且时，证明：．

10 . 已知椭圆的离心率为，分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上一点，且的周长是6，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线经过椭圆的左焦点且与椭圆交于不同的两点，求证：直线与直线的斜率的和为定值.