1 . 已知抛物线和圆交于两点,且，其中O为坐标原点.
(1)求的方程.
(2)过的焦点且不与坐标轴平行的直线与交于两点，的中点为，的准线为，且，垂足为.证明:直线的斜率之积为定值，并求该定值.

2 . P为圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)在（1）中曲线与轴的两个交点分别为和，、为曲线上异于、的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点关于原点的对称点为，若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：在曲线上存在定点，使得的面积为定值，并求该定值．

5 . 已知过抛物线的焦点F，抛物线上的点到准线的距离为3．

(1)求该抛物线E的方程；
(2)过点作斜率为的两条直线分别交抛物线于M，N和P，Q四点．其中，设线段和的中点分别为A，B，过点E作垂足为D．证明：存在定点T，使得线段长度为定值．

6 . 已知函数，，若函数在定义域上存在两个极值点，，且.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：.

7 . 已知函数，．
(1)若直线(为自然对数的底数)与函数，的图象均相切，求实数的值．
(2)设函数 ．
（i）证明：函数有两个极值点，；
（ii）对（i）中的两个极值点，，若恒成立，求实数的取值范围

8 . 已知函数f（x）＝e^x＋ax·sinx．
(1)求y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
(2)当a＝－2时，设函数g（x）＝，若x₀是g（x）在（0，π）上的一个极值点，求证：x₀是函数g（x）在（0，π）上的唯一极小值点，且e－2<g（x₀）<e－．

9 . 已知函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，证明：.

10 . 已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）证明：有且只有两条直线与函数，的图象都相切.