1 . 已知抛物线，点到焦点的距离为，直线与抛物线交于两点，设直线斜率分别为．
(1)求；
(2)若，证明直线过定点，并求出满足条件的定点坐标．

2 . 已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O.

3 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数，求证：当时，．

4 . 已知函数.
(1)求的最小值；
(2)证明：.

5 . 已知椭圆：的左右焦点分别是双曲线：的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．

(1)求椭圆的方程；
(2)如图所示，直线：与椭圆在第二象限交于点，若直线，且与椭圆交于两点，直线，与轴分别交于，两点，记，的横坐标分别为，，求证：为定值．

6 . 已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若，求的值；
(3)求证：.

7 . 已知为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点．

(1)求双曲线的标准方程；
(2)圆的切线与双曲线相交于两点．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）求面积的最小值．

8 . 已知函数
(1)若 在 上恒成立，求a的取值范围；
(2)设 为函数g(x)的两个零点，证明：

10 . 已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求正实数的取值范围；
(2)求证：当时，在上存在唯一极小值点，且．