名校
解题方法
1 . 学校为丰富学生的课余生活，决定举办教学开放活动.李华是学校数学社的社长，经过讨论，数学社决定在活动期间限量售卖小分子一氧化二氢健康饮料.为了调查该“健康饮料”是否对同学们的成绩有促进作用，数学社向全校350名同学中的100名同学免费发放了饮料，并收集了之后全校某次数学考试的成绩，得到如下2×2列联表.
（1）李华由于大量一氧化二氢渗入脑部，导致他少记录了一些数据.请你根据已有的数据，帮助他补充完成上面的2×2列联表，并判断是否有50%的把握认为是否喝了“健康饮料”与成绩是否优秀有关.
（2）在活动开始之前，数学社进行了试销，得到“健康饮料”的售价x(单位：元)与销量y(单位：瓶)的几组数据如下表所示：
（i）经计算，y与x具有较强的线性相关关系.请根据表中的数据，建立y关于x的线性回归方程；
（ii）已知每瓶“健康饮料”的成本为0.5元，根据（i）中结论，求当数学社获得最大利润时“健康饮料”的售价(保留两位小数)
附：
，其中
对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
| 喝了“健康饮料” | 没喝“健康饮料” | 总计 | |
| 成绩优秀 | 45 | ||
| 成绩不优秀 | 285 | ||
| 总计 | 100 | 350 |
（2）在活动开始之前，数学社进行了试销，得到“健康饮料”的售价x(单位：元)与销量y(单位：瓶)的几组数据如下表所示：
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y | 71 | 50 | 32 | 14 | 3 |
（ii）已知每瓶“健康饮料”的成本为0.5元，根据（i）中结论，求当数学社获得最大利润时“健康饮料”的售价(保留两位小数)
附：
 | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 |
 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 |
，其中对于一组数据
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
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2 . 随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加.下表是某购物网站2017年1-8月促销费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据.
（1）根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合
与
的关系，请用相关系数
加以说明；（系数精确到0.001）
（2）建立关于的回归方程
（系数精确到0.01）；如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需投入促销费用多少万元（结果精确到0.01）.
参考数据：
，
，
，
，
，其中
，
分别为第
个月的促销费用和产品销量，
.
参考公式：（1）样本
的相关系数
（2）对于一组数据
，
，
，
，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
（1）根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合
与的关系，请用相关系数加以说明；（系数精确到0.001）（2）建立
关于的回归方程（系数精确到0.01）；如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需投入促销费用多少万元（结果精确到0.01）.参考数据：
，，，，，其中，分别为第个月的促销费用和产品销量，.参考公式：（1）样本
的相关系数（2）对于一组数据
，，，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
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2018-03-28更新
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843次组卷
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7卷引用：2019届广东省潮州市高三第二次模拟数学（文）试题
2019届广东省潮州市高三第二次模拟数学（文）试题河北省石家庄2018届高三教学质量检测（二）文科数学试题河北省石家庄市2018届高三教学质量检测（二）数学（文）试题山西省平遥中学2018届高三3月高考适应性调研考试数学（文）试题（已下线）《高频考点解密》—解密24 统计（已下线）解密22 统计-备战2018年高考文科数学之高频考点解密甘肃省酒泉市玉门市2021-2022学年高三上学期期中数学试题
名校
3 . 某工厂
，
两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从，生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图：
（1）根据已知数据，判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关？
（2）分别计算两条生产线抽样产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？
（3）估计该厂产量为2000件产品时的利润以及一等级产品的利润.
附：
，两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从，生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图：（1）根据已知数据，判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关？
（2）分别计算两条生产线抽样产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？
（3）估计该厂产量为2000件产品时的利润以及一等级产品的利润.
附：
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2019-05-09更新
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663次组卷
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6卷引用：【市级联考】广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B卷）数学（文）试题
【市级联考】广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B卷）数学（文）试题（已下线）2012届江苏省南京市高三年级学情调研卷数学（已下线）专题11.3 概率单元检测-2021届高考数学（文）一轮复习讲练测福建省泉州市永春一中2019届高三高考数学（文）前适应性试题（已下线）2010-2011学年江苏省盐城中学高二下学期期末考试数学（理）（已下线）山东省曲阜一中2010-2011学年高一下学期期末考试数学
名校
4 . 2020年初全球爆发了新冠肺炎疫情，为了防控疫情，某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产品，该产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，根据已经生产的统计数据，绘制了如下的散点图.
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用函数
对两个变量的关系进行拟合.参考数据（其中
）：
（1）求y关于x的回归方程，并求y关于u的相关系数（精确到0.01）.
（2）该产品采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为80元，则签订9千件订单的概率为0.7，签订10千件订单的概率为0.3；若单价定为70元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为30元，根据（1）的结果，要想获得更高利润，产品单价应选择80元还是70元，请说明理由.
参考公式：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
，相关系数
.
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用函数
对两个变量的关系进行拟合.参考数据（其中）： |  |  |  |  |  |  |
| 0.41 | 0.1681 | 1.492 | 306 | 20858.44 | 173.8 | 50.39 |
（1）求y关于x的回归方程，并求y关于u的相关系数（精确到0.01）.
（2）该产品采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为80元，则签订9千件订单的概率为0.7，签订10千件订单的概率为0.3；若单价定为70元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为30元，根据（1）的结果，要想获得更高利润，产品单价应选择80元还是70元，请说明理由.
参考公式：对于一组数据
，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数.
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2020-06-09更新
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1794次组卷
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4卷引用：2020届广东省茂名市高三第二次综合测试数学（理）试题
2020届广东省茂名市高三第二次综合测试数学（理）试题黑龙江省大庆铁人中学2020届高三考前模拟训练理科数学试题（已下线）考点39 均值与方差在生活中运用（讲解）-2021年高考数学复习一轮复习笔记7.2成对数据的线性相关性 课时作业
解题方法
5 . 为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取
件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在
以内，规定质量指标值大于
的产品为优质品，质量指标值在
以内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示．
（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率；
（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有
的把握认为“产品质量高低与新设备有关”；
（3）已知每件产品的纯利润（单位：元）与产品质量指标
的关系式为
．若每台新设备每天可以生产
件产品，买一台新设备需要
万元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本．
参考公式：
，其中．
件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于的产品为优质品，质量指标值在以内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示．质量指标值 | 频数 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
合计 |
|
（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有
的把握认为“产品质量高低与新设备有关”；非优质品 | 优质品 | 合计 | |
新设备产品 | |||
旧设备产品 | |||
合计 |
（单位：元）与产品质量指标的关系式为．若每台新设备每天可以生产件产品，买一台新设备需要万元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本．参考公式：
，其中．
|
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2020-07-24更新
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157次组卷
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2卷引用：广东省东莞市2020届高三高考数学（文科）二模试题
解题方法
6 . 为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品，旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示.
（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率.
（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高，根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有的把握认为“产品质量高于新设备有关”.
附：
，其中.
（3）已知每件产品的纯利润y（单位：元）与产品质量指标值t的关系式为
若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天方可以收回设备成本.
以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品，旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示.质量指标值 | 频数 |
| 2 |
| 8 |
| 20 |
| 30 |
| 25 |
| 15 |
合计 | 100 |
（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高，根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有
的把握认为“产品质量高于新设备有关”.非优质品 | 优质品 | 合计 | |
新设备产品 | |||
旧设备产品 | |||
合计 |
P（ | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
），其中.（3）已知每件产品的纯利润y（单位：元）与产品质量指标值t的关系式为
若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天方可以收回设备成本.
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2020-07-02更新
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246次组卷
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2卷引用：2020届广东省普通高等学校招生全国统一考试模拟（二）数学（文）试题
名校
7 . 大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如表所示：
（1）根据7至11月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．
参考公式：回归直线方程，其中
，参考数据：
．
| 月份i | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 销售单价xi（元） | 9 | 9.5 | 10 | 10.5 | 11 | 8 |
| 销售量yi（件） | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 | 14 |
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．
参考公式：回归直线方程
，其中，参考数据：．
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2017-06-03更新
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3622次组卷
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8卷引用：广东省肇庆市第一中学2022届高三上学期9月教学质量检测数学试题
名校
解题方法
8 . 二手车经销商小王对其所经营的型号二手汽车的使用年数与销售价格（单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：
下面是
关于的散点图：和的关系，请用相关系数加以说明；
(2)求关于的回归方程，并预测某辆型号二手汽车当使用年数为9年时，售价大约为多少？（
、
的值精确到
）
(3)基于成本的考虑，该型号二手汽车的售价不得低于
元，请根据（2）求出的回归方程预测在收购该型号二手汽车时，车辆的使用年数不得超过多少年？
参考公式：
，
相关系数
．
参考数据：
，
，
，
，
，
．
型号二手汽车的使用年数与销售价格（单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：使用年数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
售价 | 20 | 12 | 8 | 6.4 | 4.4 | 3 |
| 3.00 | 2.48 | 2.08 | 1.86 | 1.48 | 1.10 |
关于的散点图：
和的关系，请用相关系数加以说明；(2)求
关于的回归方程，并预测某辆型号二手汽车当使用年数为9年时，售价大约为多少？（、的值精确到）(3)基于成本的考虑，该型号二手汽车的售价不得低于
元，请根据（2）求出的回归方程预测在收购该型号二手汽车时，车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：
，相关系数．参考数据：
，，，，，．
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2018-05-24更新
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1037次组卷
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4卷引用：2017届广东省汕头市高三第一次模拟考试数学（文）试卷
2017届广东省汕头市高三第一次模拟考试数学（文）试卷（已下线）2018年5月5日 周末培优——《每日一题》2018年高考文科数学三轮复习高中数学人教A版选修2-3 第三章 统计案例 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用（3）辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷
