1 . 我们用，，，…，（，且）表示n个变量，就如同a、b、c、d、e、f等表示变量一样．已知，，，…，（，且）均为正数．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)请将命题（1）、（2）推广到一般情形（不作证明）．

2 . 设集合为元数集，若的2个非空子集满足：，则称为的一个二阶划分．记中所有元素之和为中所有元素之和为．
(1)若，求的一个二阶划分，使得；
(2)若．求证：不存在的二阶划分满足；
(3)若为的一个二阶划分，满足：①若，则；②若，则．记为符合条件的的个数，求的解析式．

3 . 证明：若，则（是任意的非零复数）．

4 . 已知是实系数方程的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为．若在直线上，求证：在圆上．

5 . 在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量．
(1)若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示；
(2)若，且点满足，求的重心所对应的复数；
(3)若，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，使得其所对应的复数满足，求证：所对应的点可以构成矩形．

6 . 已知复数，，，分别记作，，，即，，，求证：
(1)；
(2)；
(3)．

7 . 已知复数、对应的向量为.
(1)若向量，且，.求对应的复数;
(2)容易证明:，类比到对应的向量，请写出类似的结论，并加以证明;
(3)设，求的值.

8 . 已知一系列样本点，，，，其中，．响应变量关于的线性回归方程为．对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过线性回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值，称为残差，即，称为相应于点的残差．
参考公式：，，．
(1)证明：；
(2)证明：，并说明与线性回归模型拟合效果的关系．

9 . 足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到22列联表如下：

	喜爱足球运动	不喜爱足球运动	合计
男性	60	40	100
女性	20	80	100
合计	80	120	200

依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
（i）求（直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．

10 . 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

	不够良好	良好
病例组	40	60
对照组	10	90

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，

	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828