21-22高二下·福建福州·期末
名校
解题方法
1 . 现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位:万元)如表所示:
根据最小二乘法公式求得线性回归方程为
.
(1)求m的值，并利用已知的线性回归方程求出八月份的残差值
(2)通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润应该为116万元.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的线性回归方程.
附1
附2
附3
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 物流成本x | 83 | 83.5 | 80 | 86.5 | 89 | 84.5 | 79 | 86.5 |
| 利润y | 114 | 116 | 106 | 122 | 132 | 114 | m | 132 |
残差 | 0.2 | 0.6 | 1.8 | -3 | -1 | -4.6 | -1 |
.(1)求m的值，并利用已知的线性回归方程求出八月份的残差值
(2)通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润应该为116万元.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的线性回归方程.
附1
附2
附3
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2 . 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本
（元）与生产该产品的数量
（千件）有关，经统计得到如下数据：
根据以上数据，绘制了散点图.
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型
和指数函数模型
分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为
，
与的相关系数
.参考数据（其中
）：
（1）用反比例函数模型求关于的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由.
参考公式：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
，相关系数
.
（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
y | 112 | 61 | 44.5 | 35 | 30.5 | 28 | 25 | 24 |
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型
和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与的相关系数.参考数据（其中）：
|
|
|
|
|
|
|
|
183.4 | 0.34 | 0.115 | 1.53 | 360 | 22385.5 | 61.4 | 0.135 |
关于的回归方程；（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由.
参考公式：对于一组数据
，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数.
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2019-06-25更新
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2164次组卷
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9卷引用：【市级联考】山东省济南市2019届高三5月学习质量针对性检测理科数学试题
【市级联考】山东省济南市2019届高三5月学习质量针对性检测理科数学试题山东省济南市2019届高三5月学习质量针对性检测文科数学试题河北省“五个一”名校联盟2019-2020学年高三上学期一轮复习收官考试数学（理）试题2020届山东省临沂市蒙阴县实验中学高三上学期期末考试数学试题河北省三河市第三中学2020届高三上学期12月月考数学(理)试题（已下线）专题02 变量间的相关关系与回归分析（第四篇）-备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖湖南省长沙市雅礼中学2023届高三二模数学试题河南省平顶山市第一中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学（文）试题（已下线）8.2.1-8.2.2一元线性回归模型、一元线性回归模型参数的最小二乘估计
3 . 2020年合肥市GDP迈上1万亿新台阶，城市核心竞争力首次进入长江经济带TOP10，金融省会城市竞争力进入全国TOP10，合肥的发展离不开中国科学院合肥分院､中国科学技术大学等一批一流高等学校的人才支撑､科技支撑，再次验证了“科学技术是第一生产力”的科学性.下表是合肥量子通讯关键设备生产企业每月生产的一种核心产品的产量：件(
)与相应的生产总成本(万元)的四组对照数据：
研究人员建立了与的3种回归模型，利用计算机求得相应预报值结果如下：
（1）请计算3种回归模型的残差(实际值-预报值)，根据残差分析判断哪一个模型的拟合效果最好并说明理由.
（2）研究人员统计了该核心产品20个月的销售单价(万元)，得到频数分布表如下：
若以这20个月销售单价的平均值定为今后的销售单价(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，结合你对（1）的判断，当月产量为12件时，预测当月的利润(四舍五入，不保留小数).(可能用到的数据：
，
)
件()与相应的生产总成本(万元)的四组对照数据： | 5 | 7 | 9 | 11 |
| 200 | 299 | 430 | 611 |
与的3种回归模型，利用计算机求得相应预报值结果如下： | 5 | 7 | 9 | 11 |
① | 180 | 317 | 453 | 590 |
② | 215 | 287 | 416 | 617 |
③ | 203 | 294 | 426 | 618 |
（2）研究人员统计了该核心产品20个月的销售单价(万元)，得到频数分布表如下：
| 销售单价分组 |  |  |  |
| 频数 | 5 | 8 | 7 |
，)
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名校
解题方法
4 . 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示：
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润(单位：百万元)与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测该公司2020年4月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料的使用寿命不同，现对A，B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：
经甲公司测算平均每件新型材料每月可以带来6万元收入入，不考虑除采购成本之外的其他成本，A型号材料每件的采购成本为10万元，B型号材料每件的采购成本为12万元.假设每件新型材料的使用寿命都是整月数，且以频率作为每件新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每件新型材料产生利润的平均值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？
参考数据：
，
.
参考公式：回归直线方程
，其中
.
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润
(单位：百万元)与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测该公司2020年4月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料的使用寿命不同，现对A，B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：
经甲公司测算平均每件新型材料每月可以带来6万元收入入，不考虑除采购成本之外的其他成本，A型号材料每件的采购成本为10万元，B型号材料每件的采购成本为12万元.假设每件新型材料的使用寿命都是整月数，且以频率作为每件新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每件新型材料产生利润的平均值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？
参考数据：
，.参考公式：回归直线方程
，其中.
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2020-05-22更新
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548次组卷
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3卷引用：2020届湖北省八校(黄冈中学、华师一附中、襄阳四中、襄阳五中、荆州中学等)高三下学期第二次联考数学(文)试题
解题方法
5 . 为了解高新产业园引进的甲公司前期的经营状况，市场研究人员对该公司2019年下半年连续六个月的利润进行了统计，统计数据列表如下：
（1）请用相关系数说明月利润y（单位：万元）与月份代码x之间的关系的强弱（结果保留两位小数），求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2020年1月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，已知生产新型材料的乙企业对A、B两种型号各100件新型材料进行模拟测试，统计两种新型材料使用寿命频数如下表所示：
现有采购成本分别为10万元/件和12万元/件的A、B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，不同类型的新型材料损坏的时间各不相同，经甲公司测算，平均每件新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每件新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率估计每件新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每件新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？
参考公式：相关系数
；
回归直线方程为
，其中
，
.
参考数据：
，
，
，
.
| 月份 | 7月 | 8月 | 9月 | 10月 | 11月 | 12月 |
| 月份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 月利润（万元） | 110 | 130 | 160 | 150 | 200 | 210 |
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，已知生产新型材料的乙企业对A、B两种型号各100件新型材料进行模拟测试，统计两种新型材料使用寿命频数如下表所示：
| 使用寿命 材料类型 | 1个月 | 2个月 | 3个月 | 4个月 | 总计 |
| A | 15 | 40 | 35 | 10 | 100 |
| B | 10 | 30 | 40 | 20 | 100 |
参考公式：相关系数
；回归直线方程为
，其中，.参考数据：
，，，.
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2020-06-25更新
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886次组卷
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4卷引用：福建省南平市2020届高三毕业班第三次综合质量检测数学（理）试题
福建省南平市2020届高三毕业班第三次综合质量检测数学（理）试题福建省南平市2020届高考数学三模（理科）试题2021届高三高考必杀技之概率统计专练（已下线）第08章 成对数据的统计分析（B卷提高卷）-2020-2021学年高二数学选择性必修第三册同步单元AB卷（新教材人教A版）
解题方法
6 . 某村在推进乡村振兴的过程中，把做活乡村产业作为强村富民的重要抓手，因地制宜推进茶叶种植，成立了茶叶合作社．为了对茶叶在销售旺季进行合理定价，合作社进行了市场调研，得到了销售旺季时销量（吨）关于售价（元/公斤）的散点图．关于的线性回归方程；
(2)该合作社2023年茶叶总产量为150吨，如果在销售旺季时售价为250元/公斤，在销售旺季没能售出的，年底以每公斤100元的价格卖给批发商，则该合作社2023年的总销售额为多少万元？
公式及参考数据：关于的线性回归方程为，其中
，
；
，
，
，
．
（吨）关于售价（元/公斤）的散点图．
关于的线性回归方程；(2)该合作社2023年茶叶总产量为150吨，如果在销售旺季时售价为250元/公斤，在销售旺季没能售出的，年底以每公斤100元的价格卖给批发商，则该合作社2023年的总销售额为多少万元？
公式及参考数据：
关于的线性回归方程为，其中，；，，，．
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2024-02-29更新
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469次组卷
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5卷引用：陕西省百师联盟2024届高三下学期开年摸底联考文科数学试题（全国卷）
陕西省百师联盟2024届高三下学期开年摸底联考文科数学试题（全国卷）陕西省西安市长安区第三中学2024届高三下学期开学摸底联考文科数学试题（已下线）8.2 一元线性回归模型及其应用（分层练习，7大题型）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）9．1 线性回归分析（3）（已下线）8.2 一元线性回归模型及其应用——随堂检测
解题方法
7 . 比亚迪, 这个在中国乘用车市场嶡露头角的中国品牌, 如今已经在全球汽车品牌销量前十中占据一席之地．这一成就不仅是比亚迪的里程硨，更是中国新能源汽车行业的里程碑，标志着中国已经在全球范围内成为了新能源汽车领域的强国．比亚迪旗下的宋plus自2020年9月上市以来，在SUV车型中的月销量遥遥领先，现统计了自上市以来截止到2023年8月的宋plus的月销量数据．
(1)通过调查研究发现，其他新能源汽车的崛起、购置税减免政策的颁布等，影响了汽车的月销量，现将残差过大的数据剔除掉，得到2022年8月至2023年8月部分月份月销量（单位：万辆）和月份编号的成对样本数据统计．
请用样本相关系数说明与之间的关系可否用一元线性回归模型拟合？若能，求出关于的经验回归方程；若不能，请说明理由．（运算过程及结果均精确到0.01）（若
，则线性相关程度很高，可用一元线性回归模型拟合）
(2)为庆祝2023年“双节”（中秋节和国庆节），某地
店特推出抽奖优惠活动，奖项共设一、二、三等奖三个奖项，其中一等奖、二等奖、三等奖分别奖励1万元、5千元、2千元，抽中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为
．现有甲、乙两人参加了抽奖活动（每人只有一次抽奖机会），假设他们是否中奖相互独立，求两人所获奖金总额超过1万元的概率．
参考公式：样本相关系数
，
．
参考数据：
，
．
(1)通过调查研究发现，其他新能源汽车的崛起、购置税减免政策的颁布等，影响了汽车的月销量，现将残差过大的数据剔除掉，得到2022年8月至2023年8月部分月份月销量
（单位：万辆）和月份编号的成对样本数据统计．月份 | 2022.8 | 2022.9 | 2022.12 | 2023.1 | 2023.2 | 2023.3 | 2023.4 | 2023.6 | 2023.7 | 202.8 |
月份编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
月销量（单位：万辆） | 4.25 | 4.59 | 4.99 | 3.5 | 3.78 | 3.01 | 2.46 | 2.72 | 3.02 | 3.28 |
与之间的关系可否用一元线性回归模型拟合？若能，求出关于的经验回归方程；若不能，请说明理由．（运算过程及结果均精确到0.01）（若，则线性相关程度很高，可用一元线性回归模型拟合）(2)为庆祝2023年“双节”（中秋节和国庆节），某地
店特推出抽奖优惠活动，奖项共设一、二、三等奖三个奖项，其中一等奖、二等奖、三等奖分别奖励1万元、5千元、2千元，抽中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为．现有甲、乙两人参加了抽奖活动（每人只有一次抽奖机会），假设他们是否中奖相互独立，求两人所获奖金总额超过1万元的概率．参考公式：样本相关系数
，．参考数据：
，．
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2023-12-19更新
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515次组卷
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4卷引用：河北省沧州市泊头市2024届高三上学期12月联考数学试题
河北省沧州市泊头市2024届高三上学期12月联考数学试题河北省沧州市四县联考2024届高三上学期12月月考数学试题河北省沧州市2024届高三上学期12月联考数学试题（已下线）专题05 成对数据的统计分析压轴题（1）
名校
8 . 武汉某科技公司为提高市场销售业绩，现对某产品在部分营销网点进行试点促销活动．现有两种活动方案，在每个试点网点仅采用一种活动方案，经统计，2018年1月至6月期间，每件产品的生产成本为10元，方案1中每件产品的促销运作成本为5元，方案2中每件产品的促销运作成本为2元，其月利润的变化情况如图①折线图所示．
（1）请根据图①，从两种活动方案中，为该公司选择一种较为有利的活动方案（不必说明理由）；
（2）为制定本年度该产品的销售价格，现统计了8组售价xi（单位：元/件）和相应销量y（单位：件）（i＝1，2，…8）并制作散点图（如图②），观察散点图可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求y关于x的回归方程（系数精确到整数）；
参考公式及数据：
40，
660，
xiyi＝206630，x
12968，
，，
（3）公司策划部选
1200lnx+5000和
═
x2+1200两个模型对销量与售价的关系进行拟合，现得到以下统计值（如表格所示）：
相关指数：R2＝1
．
（i）试比较R12，R22的大小（给出结果即可），并由此判断哪个模型的拟合效果更好；
（ii）根据（1）中所选的方案和（i）中所选的回归模型，求该产品的售价x定为多少时，总利润z可以达到最大？
（1）请根据图①，从两种活动方案中，为该公司选择一种较为有利的活动方案（不必说明理由）；
（2）为制定本年度该产品的销售价格，现统计了8组售价xi（单位：元/件）和相应销量y（单位：件）（i＝1，2，…8）并制作散点图（如图②），观察散点图可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求y关于x的回归方程（系数精确到整数）；
参考公式及数据：
40，660，xiyi＝206630，x12968，，，（3）公司策划部选
1200lnx+5000和═x2+1200两个模型对销量与售价的关系进行拟合，现得到以下统计值（如表格所示）： |  x2+1200 | |
 | 52446.95 | 122.89 |
 | 124650 | |
| 相关指数 | R | R |
相关指数：R2＝1
．（i）试比较R12，R22的大小（给出结果即可），并由此判断哪个模型的拟合效果更好；
（ii）根据（1）中所选的方案和（i）中所选的回归模型，求该产品的售价x定为多少时，总利润z可以达到最大？
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2019-12-22更新
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1562次组卷
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3卷引用：重庆市渝中区巴蜀中学2019-2020学年高三“一诊”模拟测试卷数学（文）试题
重庆市渝中区巴蜀中学2019-2020学年高三“一诊”模拟测试卷数学（文）试题（已下线）2022年高考考前20天终极冲刺攻略（四）【理科数学】（6月2日）河南省平顶山市大联盟2020-2021学年高二下学期期中数学试题
名校
9 . 安庆某农场主拥有两个面积都是220亩的农场——加盟“生态农场”与“智慧农场”，种植的都是西瓜，西瓜根据品相和质量大小分为优级西瓜､一级西瓜､残次西瓜三个等级.农场主随机抽取了两个农场的西瓜各100千克，得到如下数据：“生态农场”优级西瓜和一级西瓜共95千克，两个农场的残次西瓜一共20千克，优级西瓜数目如下：“生态农场”20千克，“智慧农场”25千克.
(1)根据所提供的数据，完成下列
列联表，并判断是否有95%的把握认为残次西瓜率与农场有关？
(2)种植西瓜的成本为0.5元/千克，且西瓜价格如下表：
①以样本的频率作为概率，请分别计算两个农场每千克西瓜的平均利润；
②由于农场主精力有限，决定售卖其中的一个农场，请你根据以上数据帮他做出决策.（假设两个农场的产量相同）
参考公式：
，其中
.附表：
(1)根据所提供的数据，完成下列
列联表，并判断是否有95%的把握认为残次西瓜率与农场有关？| 农场 | 非残次西瓜 | 残次西瓜 | 总计 |
| 生态农场 | |||
| 智慧农场 | |||
| 总计 |
| 等级 | 优级西瓜 | 一级西瓜 | 残次西瓜 |
| 价格（元/千克） | 2.5 | 1.5 |  （无害化处理费用） |
②由于农场主精力有限，决定售卖其中的一个农场，请你根据以上数据帮他做出决策.（假设两个农场的产量相同）
参考公式：
，其中.附表： | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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21-22高二·全国·单元测试
解题方法
10 . 随着互联网的迅速发展，越来越多的消费者开始选择网络购物，某营销部门统计了
年某月某地区的部分特产的网络销售情况，得到网民对不同特产的满意度
和对应的销售额
（万元）的数据如下表：
(1)求销售额关于满意度
的相关系数
；
(2)约定：销量额关于满意度的相关系数的绝对值在
及以上表示线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即销售额最少的特产退出销售），求剔除“末位淘汰”的特产后的销量额关于满意度的线性回归方程．（结果精确到
）
参考数据：记，的5组样本数据分别为
，…，
，
，
，
，
，
，
，
．
年某月某地区的部分特产的网络销售情况，得到网民对不同特产的满意度和对应的销售额（万元）的数据如下表：| 特产种类 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | 戊 |
| 满意度/% | 22 | 34 | 25 | 20 | 19 |
| 销售额/万元 | 78 | 90 | 86 | 76 | 75 |
关于满意度的相关系数；(2)约定：销量额
关于满意度的相关系数的绝对值在及以上表示线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即销售额最少的特产退出销售），求剔除“末位淘汰”的特产后的销量额关于满意度的线性回归方程．（结果精确到）参考数据：记
，的5组样本数据分别为，…，，，，，，，，．
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