1 . 在平面直角坐标系中，对于直线和点、，记，若，则称点、被直线分隔，若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点、被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．
(1)判断点是否被直线分隔并证明；
(2)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线．

2 . 在平面直角坐标系中，已知点，圆与轴的正半轴交点为，过点的直线与圆交于不同两点、．
（1）动圆过点且与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程（只需求出轨迹方程，无需限制范围）；
（2）设直线、的斜率分别为、，求证：为定值．

3 . 已知曲线C的方程为a为常数．
(1)判断曲线C的形状．
(2)设曲线C与x轴、y轴分别交于点A，点A，B与原点O不重合，试判断的面积S是否为定值，并证明你的判断．
(3)设直线与曲线C交于两点M，N，且求a的值．

4 . 在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程；，老师问同学们：你想到了什么?能得到哪些结论?下面是四位同学的回答：
甲：曲线关于对称；
乙：曲线关于原点对称；
丙：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；
丁：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；
四位同学回答正确的有______（选填“甲、乙、丙、丁”）.

5 . 证明以圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是，并判断点是否在圆上.

6 . （1）若两条曲线的方程是和，它们的交点为．证明：方程的曲线也经过（为任意实数）；
（2）求经过曲线和的交点的直线方程．