解题方法
1 . 甲口袋中装有2个红球和1个黑球，乙口袋中装有1个红球和2个黑球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复n次这样的操作，记甲口袋中红球的个数为
．
(1)求
;
(2)求
．
．(1)求
;(2)求
．
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2024·全国·模拟预测
2 . 某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径
为一级果，果径
为二级果，果径
或
以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：
），得到如图所示的频率分布直方图.
(2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径
中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数
的分布列和数学期望；
(3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为
，记一级果的个数为
的概率为
，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图.
(2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径
中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望；(3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为
，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
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2024·全国·模拟预测
解题方法
3 . 中国的农历七月初七被称为“七夕节”，象征着爱情与美好．某商场为了迎接“七夕节”的到来，特推出了购物抽奖活动．如图是由一个正方形与正三角形构成的图形，在点
处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起．初始状态是点
处的灯亮起，输入程序运行次数的上限
，然后按下开始按钮，程序开始运行，下一次是与相邻点处的其中一盏灯随机亮起，再下一次是与上一次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起．若在运行过程中，点处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行
次后游戏自动结束．在程序运行过程中，若点处的灯再次亮起，则顾客获奖．现顾客小王参与抽奖活动．
，求小王获奖的概率．
(2)若
，记游戏结束时程序运行的次数为
，求的分布列与期望．
处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起．初始状态是点处的灯亮起，输入程序运行次数的上限，然后按下开始按钮，程序开始运行，下一次是与相邻点处的其中一盏灯随机亮起，再下一次是与上一次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起．若在运行过程中，点处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行次后游戏自动结束．在程序运行过程中，若点处的灯再次亮起，则顾客获奖．现顾客小王参与抽奖活动．
，求小王获奖的概率．(2)若
，记游戏结束时程序运行的次数为，求的分布列与期望．
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4 . 一个书包中有标号为“
”的
张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回；如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为
，则
__________ .
__________ .
”的张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回；如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为，则
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5 . 某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．
(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件
“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件
“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知
，证明： 
．
(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件
“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知，证明： ．
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解题方法
6 . 在一个有限样本空间中，假设
，且A与B相互独立，A与C互斥，则（ ）
，且A与B相互独立，A与C互斥，则（ ）A． | B． |
C． | D．若 ，则B与C互斥 |
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名校
7 . 已知有
两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，
盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是______ ．
两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从盒、乙从盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中．按上述方法重复操作两次后，盒中恰有7个球的概率是
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2024-04-25更新
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1773次组卷
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4卷引用：湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题
湖南省衡阳市2024届高三第二次联考数学试题江苏省徐州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题河南省郑州市宇华实验学校2024届高三下学期第三次模拟考试数学试题（已下线）7.1.2 全概率公式——课后作业（提升版）
8 . “冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用
表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达
有_________ 种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观
的不同路线有
条，其中
，记
，则
_________ （结果用
表示）.
表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达有的不同路线有条，其中，记，则表示）.
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9 . 除夕吃年夜饭（又称为团圆饭）是中国人的传统，年夜饭也是阖家欢聚的盛宴.设一家
个人围坐在圆形餐桌前，每个人面前及餐桌正中央均各摆放一道菜，每人每次只能从中夹一道菜.
(1)当
时，若每人都随机夹了一道菜，且每道菜最多被夹一次，计算每人夹的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜的概率；
(2)现规定每人只能在自己面前或餐桌正中央的两道菜中随机夹取一道菜，每个人都各夹过一次菜后，记被夹取过的菜数为，求满足
的的最小值.
注：若
均为离散型随机变量，则
.
个人围坐在圆形餐桌前，每个人面前及餐桌正中央均各摆放一道菜，每人每次只能从中夹一道菜.(1)当
时，若每人都随机夹了一道菜，且每道菜最多被夹一次，计算每人夹的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜的概率；(2)现规定每人只能在自己面前或餐桌正中央的两道菜中随机夹取一道菜，每个人都各夹过一次菜后，记被夹取过的菜数为
，求满足的的最小值.注：若
均为离散型随机变量，则.
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名校
解题方法
10 . 将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标
和区域内该植物分布的数量
（
，2，…，15），得到数组
．已知
，
，
．
(1)求样本（，2…，15）的相关系数；
(2)假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的
，寿命为
的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．
（ⅰ）求
（）的表达式；
（ⅱ）推导该植物寿命期望
的值．
附：相关系数
．
和区域内该植物分布的数量（，2，…，15），得到数组．已知，，．(1)求样本
（，2…，15）的相关系数；(2)假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的
，寿命为的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．（ⅰ）求
（）的表达式；（ⅱ）推导该植物寿命期望
的值．附：相关系数
．
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2024-04-13更新
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1383次组卷
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2卷引用：湖南省部分学校2024届高三下学期一起考大联考模拟（二）数学试题
