1 . 设，证明：.

2 . 已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了.
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式.
(2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则”

3 . 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论；
(3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由

4 . 用综合法证明:如果，那么

5 . 已知函数，.
(1)若，在上单调递增，求的取值范围；
(2)对任意，都有，证明：.

6 . （1）已知，，试比较与的大小并证明；
（2）如果x，，比较与的大小并证明.

7 . 设，，均为正数，且，证明：
(1)；
(2).

9 . 已知.
(1)证明：；
(2)求c的最大值.

10 . 证明：．