1 . 将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或，其中，，，，，，都是实数.定义映射的模为：在的条件下的最大值，记作.若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值.
(1)若，求；
(2)如果，计算的特征值，并求相应的；
(3)若，要使有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②，并验证满足这两个条件.

2 . 实数、、满足，试求的最大值．

3 . 已知函数,,
证明：1.当时，没有零点; 2.当时，至少有n个零点；

4 . 设集合， 是集合的所有子集组成的集合.若集合满足对任意的映射，总存在，使得成立，其中，表示集合的子集的补集，为给定的正整数.试求所有满足上述条件的集合.

5 . 设函数满足当时，均有.设在时的最大值为.试求所有函数，使得存在，满足.

6 . 已知定义在上的函数满足.
（1）当时，求；当时，求.
（2）若有且仅有一个实数，使得，求函数的解析式.

7 . 已知函数对于任意实数、，都有，且当时，.
（1）在实数集上是否为单调函数？并说明理由；
（2）若，求.

8 . 对任一正整数，是否存在相应的二次函数，使得对任意的正整数，有（例如，，，，）.若存在，请给出证明及相应二次函数的表达式；若不存在，请给出理由.

9 . 证明：定义在上的奇函数能表示为一个周期函数与一个线性函数之和的充分必要条件是的图像有异于点的对称中心.
注：线性函数是指形如，和可为任意实数的函数.

10 . 已知函数满足①均大于0；②对于任意的，均为整数；③．试判断，对于每个整数是否为整数，并对你的结论给出论证．