1 . 数列
满足：
是大于1的正整数，试证明：在数列
中存在相邻的两项，它们除以
余数相同.
满足：是大于1的正整数，试证明：在数列中存在相邻的两项，它们除以余数相同.
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2 . 设
.证明：若
是偶数，则n也是偶数.
.证明：若是偶数，则n也是偶数.
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3 . 定义
，其中
为奇素数.
(1)给出同余方程
的满足
的一组解；
(2)（代数基本定理）设
，且
，求证
在
内至多有
个解；
(3)（
小定理）求证：
；
(4)（原根存在定理）若正整数
满足：
，且
，则记
，则称
为
在
意义下的阶，求证：必定存在
，有
；
(5)求证，存在
，都存在
中必有一者成立；
(6)说明当
时，
必有一组非零解
.
，其中为奇素数.(1)给出同余方程
的满足的一组解；(2)（代数基本定理）设
，且，求证在内至多有个解；(3)（
小定理）求证：；(4)（原根存在定理）若正整数
满足：，且，则记，则称为在意义下的阶，求证：必定存在，有；(5)求证，存在
，都存在中必有一者成立；(6)说明当
时，必有一组非零解.
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4 . 求证：不存在无穷多项的素数数列
，使得
.
，使得.
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5 . 对于自然数
和
，求证
是一个自然数的完全平方．
和，求证是一个自然数的完全平方．
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6 . 在各位数码各不相同的10位数中，是11111的倍数的有多少个？证明你的结论.
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7 . 设
，
.
（1）求证：
；
（2）求和：
.
其中，
表示不超过实数的最大整数.
，.（1）求证：
；（2）求和：
.其中，
表示不超过实数的最大整数.
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8 . 设
是正整数，且没有两个是相邻的，又对于
.求证：对每一个正整数，区间
中至少含有一个完全平方数.
是正整数，且没有两个是相邻的，又对于.求证：对每一个正整数，区间中至少含有一个完全平方数.
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9 . 已知个正整数
满足
，其中任意两个
，
的最小公倍数都大于
.求证：
.（
表示
的整数部分）
个正整数满足，其中任意两个，的最小公倍数都大于.求证：.（表示的整数部分）
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10 . 对正整数，记
为数
的十进制表示的数码和（如
是
的数码和，即
）.
（1）证明：对任意的正整数，
，且
；
（2）试找出一个正整数，使得
.
，记为数的十进制表示的数码和（如是的数码和，即）.（1）证明：对任意的正整数
，，且；（2）试找出一个正整数
，使得.
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