1 . 已知函数，，且满足.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证函数存在唯一零点；
(3)设，证明.

2 . 已知函数，．
(1)若，判断函数在的单调性，不需要证明；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的最小值．

3 . 已知函数，.
(1)若是奇函数，求a的值并判断的单调性（单调性不需证明）；
(2)对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数a的取值范围.

4 . 已知函数．
(1)当时，讨论的单调性（不必给出证明）；
(2)当时，求的值域；
(3)若存在，，使得，求的取值范围．

5 . 已知函数为奇函数．
(1)求a的值；
(2)设函数，
i．证明：有且只有一个零点；
ii．记函数的零点为，证明：．

6 . 已知函数，．
(1)指出单调性与的奇偶性，并用定义证明的奇偶性．
(2)是否存在实数使不等式对恒成立，若存在求出的范围，若不存在，请说明理由．

7 . 若函数为上奇函数，且时，．
(1)求在上的解析式；
(2)判断在上的单调性（无需证明）；
(3)若，解关于x的不等式．

8 . 设函数．
(1)证明：函数在上单调递减；
(2)求函数的值域．

9 . 对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”．
(1)判断函数（）和函数（）是否存在“优美区间”，如果存在，写出符合条件的一个“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）
(2)如果是函数（）的一个“优美区间”，求的最大值．