1 . 已知函数（a为常数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：.
(3)若有两个零点，，证明：.

2 . 证明下列不等式
(1)已知，，，且，求证：.
(2)已知，，，求证： .

3 . 已知函数.
(1)证明：；
(2)设，求证：对任意的，都有成立.

4 . 若非零函数对任意x，y均有，且当时，.
(1)求，并证明；
(2)求证：为上的减函数；
(3)当时，对时恒有，求实数的取值范围.

5 . 个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，称为维信号向量．设，则和的内积定义为，且．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
(3)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：．

7 . 已知数列的前项积为，且，.
(1)求证：数列是等差数列，并且求其通项公式；
(2)证明：.

8 . 已知函数，．
(1)若函数在R上单调递减，求a的取值范围；
(2)已知，，，，求证：；
(3)证明：．

9 . 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，，为上一点，.
   
(1)证明：
(2)求证：平面平面.

10 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.