1 . 已知数列为正项数列，数列满足.
(1)试写出一个数列，使得为递增的等差数列；
(2)若为递增的等差数列，从中任选一项，记为随机变量X.
（i）比较与的大小关系，其中，并说明理由；
（ii）若，证明：.

2 . 若有穷数列满足：，若对任意的，与至少有一个是数列中的项，则称数列为数列.
(1)判断数列是否为数列，并说明理由；
(2)设数列为数列.
①求证：一定为中的项；
②求证：；
(3)若数列为数列，且不是等差数列，求项数的所有可能取值.

3 . 高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 ，记 ，并规定.记，并规定.定义.
(1)若，求和；
(2)求 ；
(3)证明：

4 . 给定正整数，设集合，对于集合M中的任意元素，定义，．
(1)当时，若，求所有满足条件的；
(2)当时，均为M中的元素，且，求k的最大值；
(3)当时，若均为M中的元素，其中，且满足，求k的最小值．

5 . 对于数列把a₁作为新数列的第一项，把a₁或作为新数列的第ⅰ项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是．已知数列为数列的生成数列，为数列的前n项和．
(1)写出的所有可能值；
(2)若生成数列满足，求数列的通项公式；
(3)证明：对于给定的的所有可能值组成的集合为．

6 . 将正整数分解成两个正整数的积，即，当两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当是的最优分解时，定义，则数列的前2023项和为__________.

7 . 类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点．

(1)求的值；
(2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；
(3)过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值．

8 . 我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为.幂指函数在求导时，可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数，.
(1)已知，，求曲线在处的切线方程；
(2)若且，研究函数的单调性；
(3)已知，，，均大于0，且，讨论和的大小关系.

9 . 定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离.
(1)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么的取值范围是多少？
(2)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么的取值范围是多少？
(3)若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由.

10 . 已知表示不超过实数的最大整数，例如：，，若函数其中，则的值域为（       ）

A．

B．

C．

D．