1 . 请解决以下两道关于圆锥曲线的题目.
(1)已知圆,圆过点且与圆外切. 设点的轨迹为曲线.
①已知曲线与曲线无交点,求的最大值(用表示);
②若记(2)中题①的最大值为,圆和曲线相交于、两点,曲线与轴交于点,求四边形的面积的最大值,并求出此时的值. (参考公式:,其中,当且仅当时取等号)
(2)如图,椭圆的左右焦点分别为、,其上动点到的距离最大值和最小值之积为,且椭圆的离心率为.①求椭圆的标准方程;
②已知椭圆外有一点,过点作椭圆的两条切线,且两切线斜率之积为.是否存在合适的点,使得?若存在,请写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)已知圆,圆过点且与圆外切. 设点的轨迹为曲线.
①已知曲线与曲线无交点,求的最大值(用表示);
②若记(2)中题①的最大值为,圆和曲线相交于、两点,曲线与轴交于点,求四边形的面积的最大值,并求出此时的值. (参考公式:,其中,当且仅当时取等号)
(2)如图,椭圆的左右焦点分别为、,其上动点到的距离最大值和最小值之积为,且椭圆的离心率为.①求椭圆的标准方程;
②已知椭圆外有一点,过点作椭圆的两条切线,且两切线斜率之积为.是否存在合适的点,使得?若存在,请写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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2 . 如图,在棱长为的正方体上,点为体对角线靠近点的三等分点,点为棱 的中点,点在平面上,且在该平面与正方体表面的交线所组成的封闭图形中(含边界),则下列说法正确的是( )
A.平面与底面的夹角余弦值为; |
B.点到平面的距离为; |
C.点到点的距离最大值为; |
D.设平面与正方体棱的交点为、… 、,则边形最长的对角线的长度大于. |
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3 . 帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m,n,函数在处的阶帕德近似定义为:,且满足:,,,…,.(注:,,,,…;为的导数).
(1)求函数在处的阶帕德近似函数;
(2)在(1)的条件下,试比较与的大小;
(3)在(1)的条件下,若在上存在极值,求m的取值范围.
(1)求函数在处的阶帕德近似函数;
(2)在(1)的条件下,试比较与的大小;
(3)在(1)的条件下,若在上存在极值,求m的取值范围.
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4 . 已知抛物线上一点的纵坐标为4,点到焦点的距离为5.过点做两条互相垂直的弦,设弦的中点分别为.
(2)过焦点作,且垂足为,
(ⅰ)求证直线过定点,并求定点坐标;
(ⅱ)求的最大值.
(1)求抛物线的方程;
(2)过焦点作,且垂足为,
(ⅰ)求证直线过定点,并求定点坐标;
(ⅱ)求的最大值.
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5 . 已知函数,下列说法正确的有( )
A.函数的极小值为 |
B.函数在点处的切线方程为 |
C. |
D.若曲线与曲线无交点,则的取值范围为 |
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6 . 下列判断正确的是( )
A. | B. |
C. | D. |
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7 . 已知函数
(1)当时,求在处的切线方程.
(2)设分别为的极大值点和极小值点,记,;
①证明:直线与曲线交于另一个点C;
②在①的条件下,判断是否存在常数,使得,若存在,求n;若不存在,说明理由.
附:,
(1)当时,求在处的切线方程.
(2)设分别为的极大值点和极小值点,记,;
①证明:直线与曲线交于另一个点C;
②在①的条件下,判断是否存在常数,使得,若存在,求n;若不存在,说明理由.
附:,
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8 . 若是双曲线的右焦点,过作该双曲线的一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点,为坐标原点,的面积为,则该双曲线的离心率为__________ .
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9 . 已知为函数的导函数,则下列说法正确的是( )
A. | B.函数在上单调递增 |
C.函数仅有一个极值点,且为极大值点 | D.对,都有成立 |
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10 . 已知椭圆的左、右焦点为,离心率为,过左焦点的直线与椭圆交于两点,且的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过椭圆右焦点的直线的斜率分别为,满足交椭圆于点交椭圆于点,线段与的中点分别为.判断直线是否过定点,若过定点求出该定点;若不过定点,请说明理由.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过椭圆右焦点的直线的斜率分别为,满足交椭圆于点交椭圆于点,线段与的中点分别为.判断直线是否过定点,若过定点求出该定点;若不过定点,请说明理由.
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