1 . 已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线与的斜率之积为定值；
(3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论．

2 . 设数集满足：①任意，有；②任意、，有或，则称数集具有性质.
（1）判断数集是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集且具有性质.
（i）当时，求证：、、、是等差数列；
（ii）当、、、不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）

3 . 已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；
（Ⅲ）比较与的大小，并加以证明．

4 . 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，且

(1)求证：平面平面
(2)设D是的中点，判断并证明在线段上是否存在点E，使平面，若存在，求点E到平面的距离．

5 . 已知各项均为非负整数的数列，，，，满足，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为，，，，0，，，．设，，1，．
（1）若数列，1，1，3，0，0，试写出数列；若数列，0，0，0，0，试写出数列；
（2）证明存在数列，经过有限次变换，可将数列变为数列；
（3）若数列经过有限次变换，可变为数列．设，，2，，，求证，其中表示不超过的最大整数．

6 . 数列有项，，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质.
(1)若，求可能的值；
(2)若不为等差数列，求证：中存在满足性质；
(3)若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用表示.

7 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，即为，，，，．
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若，，，构成等比数列，求正整数的所有可能值；
(3)记，求证：．

8 . 已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证：．

9 . 设函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，当时，求证：.
(3)若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围.

10 . 已知函数，．
(1)求证：，恒成立；
(2)若存在极值，求a的取值范围；
(3)若时，成立，求a的取值范围．