1 . 已知函数．
（1）试用周期函数的定义证明函数是周期函数，并指出该函数的一个周期；
（2）若函数在上取最大值、最小值时，所对应的x的值按从小到大依次记为，试求关于的函数关系式；
（3）在满足（2）的条件下，记，求证：．

3 . 设函数，，函数，，.
(1)当函数是奇函数，求；
(2)证明是严格增函数；
(3)当是奇函数时，解关于的不等式.

4 . 已知定义域为的函数，其导函数为，满足对任意的都有.
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若存在，对任意，成立，试判断函数的零点个数，并说明理由；
(3)若存在a、，使得，证明：对任意的实数、，都有.

5 . 已知函数，，．
（1）试判断的单调性；
（2）求证：为递减数列，且恒成立．

6 . 已知椭圆：，为左焦点，为直线上一动点，为线段与的交点，定义：.
（1）若点的纵坐标为，求；
（2）证明：存在常数，，使得.

7 . 已知函数，且函数奇函数而非偶函数.
（1）写出的单调性（不必证明）；
（2）当时，的取值范围恰为，求与的值；
（3）设是否存在实数使得函数有零点？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由.

8 . 给定整数()，设集合，记集合．
（1）若，求集合；
（2）若构成以为首项，()为公差的等差数列，求证：集合中的元素个数为；
（3）若构成以为首项，为公比的等比数列，求集合中元素的个数及所有元素之和．

9 . 已知抛物线，是焦点，直线是经过点的任意直线．
（Ⅰ）若直线与抛物线交于、两点，且（是坐标原点，是垂足），求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）若、两点在抛物线上，且满足，求证：直线必过定点，并求出定点的坐标．

10 . 在平面直角坐标系中，已知动点，点点与点关于直线对称，且.直线是过点的任意一条直线．
（1）求动点所在曲线的轨迹方程；
（2）设直线与曲线交于两点，且，求直线的方程；
（3）若直线与曲线交于两点，与线段交于点（点不同于点），直线与直线交于点，求证：是定值．