1 . 已知函数和，它们的图像分别为曲线和.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：曲线和有唯一交点；
(3)设直线与两条曲线共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，求证：成等比数列.

2 . 设函数．
(1)设，求函数的单调区间；
(2)求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件；
(3)设，，，证明：函数恰有一个零点r，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.

3 . 设函数定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质.
(1)判断函数，是否具有M性质，并说明理由；
(2)已知函数在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有；
(3)①已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立；
②已知函数，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值.
(可参考：对于任意给定实数、，有，且等号当且仅当时成立.)

4 . 已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数，对于定义域内的任意，均有成立，称数对为函数的“伴随数对”.
（1）判断函数是否属于集合，并说明理由；
（2）试证明：假设为定义在上的函数，且，若其“伴随数对”满足，求证：恒成立；
（3）若函数，求满足条件的函数的所有“伴随数对”.

5 . 已知函数．
（1）试用周期函数的定义证明函数是周期函数，并指出该函数的一个周期；
（2）若函数在上取最大值、最小值时，所对应的x的值按从小到大依次记为，试求关于的函数关系式；
（3）在满足（2）的条件下，记，求证：．

6 . 设集合由满足下列两个条件的数列构成:①②存在实数使得对任意正整数都成立.
(1)现在给出只有5项的有限数列试判断数列是否为集合的元素；
(2)设数列的前项和为且若对任意正整数点均在直线上，证明:数列并写出实数的取值范围；
(3)设数列若数列没有最大值，求证:数列一定是单调递增数列．

7 . 已知数列中，，，.
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；
（3）若且，，求证：使得，，成等差数列的点列在某一直线上.

9 . 已知在定义域上是连续不断的函数，对于区间若存在，使得对任意的，都有，则称在区间上存在最大值.
(1)函数在区间存在最大值，求实数m的取值范围；
(2)若函数为奇函数，在上，，易证对任意，函数在区间上存在最大值M，试写出最大值M关于t的函数关系式；
(3)若对任意，函数在区间上存在最大值M，设最大值M关于t的函数关系式为，求证：“在定义域上是严格增函数”的充要条件是“在定义域上是严格增函数”.