1 . 设函数
．
(1)设
，求函数
的单调区间；
(2)求证：
是有三个不同零点的必要而不充分条件；
(3)设
，
，
，证明：函数恰有一个零点r，且存在唯一的严格递增正整数数列
，使得
.
．(1)设
，求函数的单调区间；(2)求证：
是有三个不同零点的必要而不充分条件；(3)设
，，，证明：函数恰有一个零点r，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.
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2 . 已知函数
和
，它们的图像分别为曲线
和
.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：曲线和有唯一交点；
(3)设直线
与两条曲线
共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为
，求证：成等比数列.
和，它们的图像分别为曲线和.(1)求函数
的单调区间；(2)证明：曲线
和有唯一交点；(3)设直线
与两条曲线共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为，求证：成等比数列.
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2022-12-26更新
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577次组卷
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3卷引用：上海市大同中学2024届高三上学期开学考数学试题
名校
解题方法
3 . 设函数
定义在区间
上，若对任意的
、
、
、
，当
，且
时，不等式
成立，就称函数具有M性质.
(1)判断函数
，
是否具有M性质，并说明理由；
(2)已知函数在区间上恒正，且函数
，
具有M性质，求证：对任意的、，且
，有
；
(3)①已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、
，有
，其中等号当且仅当
时成立；
②已知函数
，
具有M性质，若
、
、
为三角形
的内角，求
的最大值.
(可参考：对于任意给定实数
、
，有
，且等号当且仅当
时成立.)
定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质.(1)判断函数
，是否具有M性质，并说明理由；(2)已知函数
在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有；(3)①已知函数
，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立；②已知函数
，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值.(可参考：对于任意给定实数
、，有，且等号当且仅当时成立.)
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2021-12-27更新
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696次组卷
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5卷引用：上海市黄浦区2022届高三一模数学试题
上海市黄浦区2022届高三一模数学试题（已下线）上海市黄浦区2022届高三上学期一模数学试题（已下线）第04讲 函数最值与性质-3上海市文来高中2023届高三上学期期中数学试题（已下线）专题06 期末解答压轴题-《期末真题分类汇编》(上海专用）
4 . 设集合
由满足下列两个条件的数列构成:①
②存在实数
使得
对任意正整数
都成立.
(1)现在给出只有5项的有限数列
试判断数列是否为集合的元素；
(2)设数列
的前项和为
且
若对任意正整数
点
均在直线
上，证明:数列
并写出实数的取值范围；
(3)设数列
若数列
没有最大值，求证:数列一定是单调递增数列．
由满足下列两个条件的数列构成:①②存在实数使得对任意正整数都成立.(1)现在给出只有5项的有限数列
试判断数列是否为集合的元素；(2)设数列
的前项和为且若对任意正整数点均在直线上，证明:数列并写出实数的取值范围；(3)设数列
若数列没有最大值，求证:数列一定是单调递增数列．
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解题方法
5 . 如图，已知
是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，
是以的焦点
为顶点的等轴双曲线，点
是与的一个交点，动点
在的右支上且异于顶点.与的方程；
(2)若直线
的倾斜角是直线
的倾斜角的2倍，求点的坐标；
(3)设直线
的斜率分别为
，直线与相交于点
，直线与相交于点
，
，
，求证：
且存在常数
使得
.
是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.
与的方程；(2)若直线
的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；(3)设直线
的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得.
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名校
6 . 设函数与
的定义域均为
，若存在
，满足
且
，则称函数与“局部趋同”．
(1)判断函数
与
是否“局部趋同”，并说明理由；
(2)已知函数
．求证：对任意的正数
，都存在正数
，使得函数
与
“局部趋同”；
(3)对于给定的实数
，若存在实数，使得函数
与
“局部趋同”，求实数的取值范围．
与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与“局部趋同”．(1)判断函数
与是否“局部趋同”，并说明理由；(2)已知函数
．求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”；(3)对于给定的实数
，若存在实数，使得函数与“局部趋同”，求实数的取值范围．
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2023-12-06更新
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282次组卷
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2卷引用：上海市黄浦区2024届高三上学期期中调研测试（一模）数学试题
7 . 已知
为坐标原点，曲线：
和曲线：
有公共点，直线
：
与曲线的左支相交于A、B两点，线段
的中点为M.
(1)若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程.
(2)若
，直线经过点
，且
，求直线的方程.
(3)若直线
：
与曲线相交于C、D两点，且直线
经过线段
中点N，求证：
.
为坐标原点，曲线：和曲线：有公共点，直线：与曲线的左支相交于A、B两点，线段的中点为M. (1)若曲线
和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程.(2)若
，直线经过点，且，求直线的方程.(3)若直线
：与曲线相交于C、D两点，且直线经过线段中点N，求证：.
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8 . 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，斑斓夺目的数学知识中函数尤为耀眼，加上数列知识的加持，犹如锦上添花.下面让我们通过下面这题来体会函数与数列之间的联系.已知
，
.
(1)求函数的单调区间
(2)若数列
（
为自然底数），
，
，
，
，求使得不等式：
成立的正整数的取值范围
(3)数列满足
，
，
.证明：对任意的，
.
，.(1)求函数
的单调区间(2)若数列
（为自然底数），，，，，求使得不等式：成立的正整数的取值范围(3)数列
满足，，.证明：对任意的，.
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9 . 如图，已知椭圆
：
的离心率为
，
点为其左顶点．过A的直线
交抛物线
于B、C两点，C是AB的中点．的方程；
(2)求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；
(3)若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得
的面积最大．
：的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点．
的方程；(2)求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；
(3)若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得
的面积最大．
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2023-06-05更新
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917次组卷
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5卷引用：上海市大同中学2023届高三三模数学试题
上海市大同中学2023届高三三模数学试题上海市闵行区闵行中学2024届高三上学期12月月考数学试题（已下线）黄金卷04上海市上海师范大学附属外国语学校2024届高三热身考试数学试卷（已下线）第24讲 抛物线的简单几何性质6种常见考法归类（2）
解题方法
10 . 已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点
与右焦点
都在轴上，离心率为
，过点的动直线与双曲线交于点、．设
．的渐近线方程；
(2)若点、都在双曲线的右支上，求
的最大值以及取最大值时
的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设
为
，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
(3)若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且
，求证：
是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍．
的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．
的渐近线方程；(2)若点
、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.(3)若点
在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍．
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2023-04-13更新
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744次组卷
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5卷引用：上海市黄浦区2023届高三二模数学试题
上海市黄浦区2023届高三二模数学试题（已下线）专题08 平面解析几何-学易金卷上海市桃浦中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试卷（已下线）重难点03圆锥曲线综合七种问题解题方法-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）（已下线）专题09 双曲线（四大核心考点六种题型）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（沪教版2020）
