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1 . 已知函数
，其中
，
．
(1)若n＝8，
，求
的最大值；
(2)若
，求
；（用n表示）
(3)若
，求证：
．
，其中，．(1)若n＝8，
，求的最大值；(2)若
，求；（用n表示）(3)若
，求证：．
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解题方法
2 . 有一个益智类的古堡探险闯关游戏，玩家每局都有甲､乙两座不同的古堡可供选择.已知某玩家古堡甲闯关成功的概率为
，古堡乙闯关成功的概率为
.若该玩家第一局选择古堡甲闯关的概率为
，前一局选择了古堡甲闯关，则继续选择古堡甲闯关的概率为
；前一局选择了古堡乙闯关，则继续选择古堡乙闯关的概率为
.
(1)求该玩家第一局闯关成功的概率；
(2)记该玩家第
局选择古堡甲闯关的概率为
，第局闯关成功的概率为
.
（i）求和的表达式；
（ii）当
时，求证：
.
，古堡乙闯关成功的概率为.若该玩家第一局选择古堡甲闯关的概率为，前一局选择了古堡甲闯关，则继续选择古堡甲闯关的概率为；前一局选择了古堡乙闯关，则继续选择古堡乙闯关的概率为.(1)求该玩家第一局闯关成功的概率；
(2)记该玩家第
局选择古堡甲闯关的概率为，第局闯关成功的概率为.（i）求
和的表达式；（ii）当
时，求证：.
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3 . 在棱长均为1的三棱柱
中，
，点
满足
，其中
，则下列说法一定正确的有（ ）
中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（ ）A．当点为三角形 的重心时， |
B．当 时， 的最小值为 |
C．当点在平面 内时， 的最大值为2 |
D．当 时，点到 的距离的最小值为 |
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解题方法
4 . 已知椭圆
经过
和
，
分别为椭圆的左顶点、右顶点、上顶点.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过
轴上点
（点在椭圆长轴上）作直线交椭圆
两点，且
，若
，求
点的坐标；
(3)过点
作直线交椭圆于
点，交直线
于
，直线
于轴相交于
，求证:
为定值，并求此定值.（其中
分别为直线
和直线l，
的斜率）.
经过和，分别为椭圆的左顶点、右顶点、上顶点.(1)求椭圆
的标准方程；(2)过
轴上点（点在椭圆长轴上）作直线交椭圆两点，且，若，求点的坐标；(3)过点
作直线交椭圆于点，交直线于，直线于轴相交于，求证:为定值，并求此定值.（其中分别为直线和直线l，的斜率）.
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解题方法
5 . 已知双曲线E：
的左，右焦点分别为
，离心率为2，点B为
，直线
与圆
相切.
(1)求双曲线E方程；
(2)过
的直线l与双曲线E交于M，N两点，
①若
，求
的面积取值范围：
②若直线l的斜率为k，是否存在双曲线E上一点Q以及x轴上一点P，使四边形PMQN为菱形？若存在，求出
；若不存在，请说明理由.
的左，右焦点分别为，离心率为2，点B为，直线与圆相切.(1)求双曲线E方程；
(2)过
的直线l与双曲线E交于M，N两点，①若
，求的面积取值范围：②若直线l的斜率为k，是否存在双曲线E上一点Q以及x轴上一点P，使四边形PMQN为菱形？若存在，求出
；若不存在，请说明理由.
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6 . 设函数
（
），其中
为自然对数的底数，
为实数．
(1)若
在
上单调递增，求实数k的取值范围；
(2)求的零点的个数：；
(3)若不等式
在
上恒成立，求k的取值范围．
（），其中为自然对数的底数，为实数．(1)若
在上单调递增，求实数k的取值范围；(2)求
的零点的个数：；(3)若不等式
在上恒成立，求k的取值范围．
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解题方法
7 . 意大利画家达
芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数
的图象，定义双曲正弦函数
，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：
，②倍元关系：
．
(1)求曲线
在
处的切线斜率；
(2)（i）证明：当
时，
；
（ii）证明：
．
芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：．(1)求曲线
在处的切线斜率；(2)（i）证明：当
时，；（ii）证明：
．
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2024-04-30更新
|
377次组卷
|
3卷引用：江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
解题方法
8 . 如图①是直角梯形
，
，
，
是边长为1的菱形，且
，以
为折痕将
折起，当点
到达
的位置时，四棱锥
的体积最大，是线段
上的动点，则到
距离最小值为______ ．
，，，是边长为1的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则到距离最小值为
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9 . n个有次序的实数
，
，…，
所组成的有序数组
称为一个n维向量，其中
称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量
，若
，称
为n维信号向量.设，
，则和
的内积定义为
，且
.
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量
，
，…，
满足它们的前m个分量都是相同的，求证：
.
，，…，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量，若，称为n维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量
，，…，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：.
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名校
解题方法
10 . 已知椭圆C：
的右焦点为
，右顶点为A，直线l：
与x轴交于点M，且
，
(1)求C的方程；
(2)B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q，
①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；
②⊙N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得，
？若存在，求
；若不存在，请说明理由.
的右焦点为，右顶点为A，直线l：与x轴交于点M，且，(1)求C的方程；
(2)B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q，
①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；
②⊙N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得，
？若存在，求；若不存在，请说明理由.
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2024-03-22更新
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2205次组卷
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5卷引用：江苏省南京市第五高级中学2023-2024学年高二下学期4月阶段性检测数学试卷
