1 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，分别为的极大值点和极小值点，记，．
（ⅰ）证明：直线AB与曲线交于另一点C；
（ⅱ）在（i）的条件下，判断是否存在常数，使得．若存在，求n；若不存在，说明理由．
附：，．

2 . 已知椭圆，过椭圆上一动点引圆的两条切线为切点，直线与轴、轴分别交于点．
(1)已知点坐标为，求直线的方程；
(2)若圆的半径为2，且，过椭圆的右焦点作倾斜角不为0的动直线与椭圆交于两点，点在轴上，且为常数，求的面积的最大值．

3 . 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）

(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆在处的曲率；
(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．

4 . 已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数，恒有．则下列结论中正确的有（       ）

A．

B．过点的切线方程

C．对，不等式恒成立

D．若为函数的极值点，则

5 . 如图，设P是上的动点，点D是点P在x轴上的投影，Q点满足（）．

(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程；
(2)若，设点，A关于原点的对称点为B，直线l过点且与曲线C交于点M和点N，设直线AM与直线BN交于点T，设直线AM的斜率为，直线BN的斜率为．
（i）求证：为定值；
（ii）求证：存在两条定直线、，使得点T到直线、的距离之积为定值．

6 . 设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是（       ）

A．双曲线离心率的最小值为4

B．离心率最小时双曲线的渐近线方程为

C．若直线同时与两条渐近线交于点，，则

D．若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值

7 . 已知是方程的两个实根，且.
(1)求实数的取值范围；
(2)已知，，若存在正实数，使得成立，证明：.

8 . 过原点的直线l与圆M：交于A，B两点，且l不经过点M，则（       ）

A．弦AB长的最小值为8

B．△MAB面积的最大值为

C．圆M上一定存在4个点到l的距离为

D．A，B两点处圆的切线的交点位于直线上

9 . 已知正四棱柱中，，为的中点，为棱上的动点，平面过，，三点，则（       ）

A．平面平面

B．平面与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形

C．当与A重合时，截此四棱柱的外接球所得的截面面积为

D．存在点，使得与平面所成角的大小为

10 . 双曲线的虚轴长为2，为其左右焦点，是双曲线上的三点，过作的切线交其渐近线于两点.已知的内心到轴的距离为1.下列说法正确的是（       ）

A．外心的轨迹是一条直线

B．当变化时，外心的轨迹方程为

C．当变化时，存在使得的垂心在的渐近线上

D．若分别是中点，则的外接圆过定点