1 . 已知函数， ．
（1）分别求函数与在区间上的极值；
（2）求证：对任意， ．

2 . 已知定点，定直线，动点到点的距离与到直线的距离之比等于.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设轨迹与轴负半轴交于点，过点作不与轴重合的直线交轨迹于两点，直线分别交直线于点.试问：在轴上是否存在定点，使得?若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

3 . 设函数（）.
(1)若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；
(2)求函数的极值点；
(3)令，，设，，是曲线上相异三点，其中.求证：.

4 . 已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

5 . 设函数.
（I）讨论函数的单调性；
（II）当时，，求实数的取值范围.

6 . 设，函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若无零点，求实数的取值范围；
(3)若有两个相异零点，求证：.

7 . 已知函数（其中为自然对数的底数），．
(1)若，，求在上的最大值；
(2)若，，求使的图象恒在图象上方的最大正整数．[注意：]．

8 . 已知函数，曲线在点处的切线方程为（其中是自然对数的底数）.
(1)求实数，的值；
(2)求证：.

9 . 如图，在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，给出下列结论：

①；②；③；④

其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号）

10 . 已知函数的图象的一条切线为轴.
（1）求实数的值；
（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证：.