名校
1 . 在正项无穷数列
中，若对任意的
，都存在
，使得
，则称为
阶等比数列．在无穷数列
中，若对任意的，都存在，使得
，则称为阶等差数列．
(1)若为1阶等比数列，
，求的通项公式及前
项和；
(2)若为阶等比数列，求证：
为阶等差数列；
(3)若既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：是等比数列．
中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等差数列．(1)若
为1阶等比数列，，求的通项公式及前项和；(2)若
为阶等比数列，求证：为阶等差数列；(3)若
既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：是等比数列．
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2024-03-10更新
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879次组卷
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4卷引用：河南省TOP二十名校2024届高三下学期质检一数学试题
2 . 函数
称为取整函数，也称为高斯函数，其中
表示不超过实数
的最大整数，例如：
．对于任意的实数，定义
数列满足
．
(1)求
的值；
(2)设
，从全体正整数中除去所有
，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列
．
①求的通项公式；
②证明：对任意的
，都有
．
称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如：．对于任意的实数，定义数列满足．(1)求
的值；(2)设
，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列．①求
的通项公式；②证明：对任意的
，都有．
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解题方法
3 . 已知函数
．
(1)求函数
在区间
上的极值点的个数．
(2)“
”是一个求和符号，例如
，
，等等．英国数学家布鲁克·泰勒发现，当
时，
，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用．
证明：（i）当时，对
，都有
；
（ii）
．
．(1)求函数
在区间上的极值点的个数．(2)“
”是一个求和符号，例如，，等等．英国数学家布鲁克·泰勒发现，当时，，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用．证明：（i）当
时，对，都有；（ii）
．
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解题方法
4 . 已知双曲线
的两条渐近线分别为
和
，右焦点坐标为
为坐标原点.
(2)直线
与双曲线的右支交于点
（
在
的上方），过点分别作
的平行线，交于点
，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点
（
在
的上方），再过点分别作的平行线，交于点
，这样一直操作下去，可以得到一列点
.
证明：①
共线；
②
为定值
.
的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为为坐标原点.
(2)直线
与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点.证明：①
共线；②
为定值.
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5 . 定义：若函数
图象上恰好存在相异的两点
，
满足曲线
在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线
为曲线的“双重切线”．
(1)直线
是否为曲线
的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数
求曲线
的“双重切线”的方程；
(3)已知函数
，直线为曲线
的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为
，
，…，
，若
（
），证明：
．
图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．(1)直线
是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；(2)已知函数
求曲线的“双重切线”的方程；(3)已知函数
，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．
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名校
解题方法
6 . 已知函数
，
.
(1)若在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)当
时，证明：
.
，.(1)若
在上单调递增，求的取值范围；(2)当
时，证明：.
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2023-10-27更新
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656次组卷
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7卷引用：河南省周口市项城市正泰博文高级中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题
河南省周口市项城市正泰博文高级中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题河南省名校联盟2024届高三上学期11月段考数学试题河北省邢台市五岳联盟2024届高三上学期第四次月考数学试题河北省保定市部分高中2024届高三上学期10月联考数学试题重庆市北碚区西南大学附属中学校2024届高三上学期11月期中数学试题（已下线）模块三 大招25 不等式证明——指对处理（已下线）模块三 大招6 不等式证明——指对处理
解题方法
7 . 设的定义域为R，若
，都有
，则称函数为“
函数”．
(1)若在R上单调递减，证明是“函数”；
(2)已知函数
．
①证明
是
上的奇函数，并判断是否为“函数”（无需证明）；
②若对任意的
恒成立，求实数
的取值范围．
的定义域为R，若，都有，则称函数为“函数”．(1)若
在R上单调递减，证明是“函数”；(2)已知函数
．①证明
是上的奇函数，并判断是否为“函数”（无需证明）；②若对任意的
恒成立，求实数的取值范围．
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名校
8 . 已知函数
.
(1)若
，讨论的零点个数；
(2)若
是函数
（
为的导函数）的两个不同的零点，且
，求证：
.
.(1)若
，讨论的零点个数；(2)若
是函数（为的导函数）的两个不同的零点，且，求证：.
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2024-03-27更新
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586次组卷
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3卷引用：河南省濮阳市2024届高三下学期第一次模拟考试数学试题
名校
9 . 已知函数
．
(1)若
时，
，求实数的取值范围；
(2)设
，证明：
．
．(1)若
时，，求实数的取值范围；(2)设
，证明：．
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2024-01-20更新
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1037次组卷
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6卷引用：2024届河南省信阳市浉河区信阳高级中学二模数学试题
名校
10 . 已知函数
．
(1)当
时，求的单调区间；
(2)若
时，，求a的取值范围；
(3)对于任意，证明：
．
．(1)当
时，求的单调区间；(2)若
时，，求a的取值范围；(3)对于任意
，证明：．
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2024-01-18更新
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1778次组卷
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8卷引用：河南省濮阳市第一高级中学2023-2024学年高二下学期5月期中质量检测数学试题
