1 . 无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是．
(1)写出这个数列的前7项；
(2)如果且，求m，n的值；
(3)记，，求一个正整数n，满足．

2 . 若实数列满足，有，称数列为“数列”.
(1)判断是否为“数列”，并说明理由；
(2)若数列为“数列”，证明：对于任意正整数，且，都有
(3)已知数列为“数列”，且.令，其中表示中的较大者.证明：，都有.

3 . 对于有穷数列，若存在等差数列，使得，则称数列是一个长为的“弱等差数列”.
(1)证明:数列是“弱等差数列”;
(2)设函数，在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明： 是“弱等差数列”;
(3)证明:存在长为2024的“弱等差数列”，且是等比数列.

4 . 短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.
(1)依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：单位：人

游客	短视频		合计
	收看	未看
南方游客
北方游客
合计

(2)为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.
（i）求经过次传递后球回到甲的概率；
（ii）记前次传递中球传到乙的次数为，求的数学期望.
参考公式：，其中；
附表：

	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

5 . 二阶递推公式特征方程是一种常见的数学方法，主要用于求解二阶线性递推数列的通项公式.例如：一个数列满足递推关系，且，为给定的常数（有时也可以是，为给定的常数），特征方程就是将上述的递推关系转化为关于的二次特征方程：，若，是特征方程的两个不同实根，我们就可以求出数列的通项公式，其中和是两个常数，可以由给定的，（有时也可以是，）求出.
(1)若数列满足：，，，求数列的通项公式；
(2)若，试求的十分位数码（即小数点后第一位数字），并说明理由；
(3)若定义域和值域均为的函数满足：，求的解析式

6 . 已知数列的通项公式为，则下列说法正确的有（       ）

A．若，则数列单调递减

B．若对任意，都有，则

C．若，则对任意，都有

D．若的最大项与最小项之和为正数，则

7 . 表示正整数a，b的最大公约数，若，且，，则将k的最大值记为，例如：，.
(1)求，，；
(2)已知时，.
（i）求；
（ii）设，数列的前n项和为，证明：.

8 . 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数
(1)求；
(2)若正整数互质，证明：；
(3)若且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：．

9 . 某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为，，且各部件是否正常工作相互独立，已知，设为在次实验中成功运行的次数，若，则至少需要进行的试验次数为______．

10 . 设点(异于原点)在曲线上，已知过的直线垂直于曲线过点的切线，若直线的纵截距的取值范围是，则（       ）

A．2

B．1

C．

D．