1 . 已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.

2 . 在几何体中，、、均与正方形垂直，，，点在上，且，，的长成等比数列，是线段上的动点．

(1)若为的中点，求证：平面；
(2)若，，求与平面所成角的正弦值的最大值．

3 . 如图所示，在四面体中，，，，且．设P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使，并计算的值．

4 . 已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数有两个不同的极值点，.证明：.

5 . 已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设函数的最小值为t，正实数a，b，c满足，求证：.

6 . 如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为等腰梯形，，且．

(1)证明：平面平面；
(2)若点A到平面PBC的距离为，求平面与平面夹角的余弦值．

7 . 已知函数．
(1)当时，求在处的切线方程：
(2)若在上单调递增，求的取值范围；
(3)若，，证明：．

8 . 一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂， 并只受重力的影响，这个项链形成的曲 线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程 ，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比三角函数的三个性质：
①倍角公式 ；
②平方关系 ；
③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)当时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数的取值范围；
(3)若，证明：

9 . 如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，点为中点，，点为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)过作与垂直的平面，平面交直线于点，求线段的长度．