2024高三·全国·专题练习
解题方法
1 . 数列
有
项，
，对任意
，存在
，若
与前
项中某一项相等，则称具有性质
.
(1)若
，求
可能的值；
(2)若不为等差数列，求证：中存在满足性质；
(3)若中恰有三项具有性质，这三项和为
，使用
表示
.
有项，，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质.(1)若
，求可能的值；(2)若
不为等差数列，求证：中存在满足性质；(3)若
中恰有三项具有性质，这三项和为，使用表示.
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2024高三·全国·专题练习
2 . 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“
－数列”.
(1)已知等比数列
满足：
，求证:数列为“－数列”；
(2)已知数列
满足:
，其中
为数列的前项和．
①求数列的通项公式；
②设
为正整数，若存在“－数列” 
，对任意正整数
，当
时，都有
成立，求的最大值．
－数列”.(1)已知等比数列
满足：，求证:数列为“－数列”；(2)已知数列
满足:，其中为数列的前项和．①求数列
的通项公式；②设
为正整数，若存在“－数列” ，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．
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解题方法
3 . 三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角
的顶点为
，在
的两边上截取
，连接
，在线段上取一点
，使得
，记
的中点为
，以为中心，
为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，
为半径作圆，与双曲线左支交于点
（射线
在
内部），则
.在上述作法中，以为原点，直线为
轴建立如图所示的平面直角坐标系，若
，点在轴的上方.的方程；
(2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点
，点到直线
的距离为
.
证明：①
为定值；
②.
的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方.
的方程；(2)若过点
且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为.证明：①
为定值；②
.
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4 . 对于函数
的导函数
，若在其定义域内存在实数
和
，使得
成立，则称是“跃然”函数，并称是函数的“跃然值”．
(1)证明：当
时，函数
是“跃然”函数；
(2)证明：
为“跃然”函数，并求出该函数“跃然值”的取值范围．
的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃然”函数，并称是函数的“跃然值”．(1)证明：当
时，函数是“跃然”函数；(2)证明：
为“跃然”函数，并求出该函数“跃然值”的取值范围．
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5 . 平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知
的垂心为D，外心为E，D和E关于原点O对称，
.
(1)若
，点B在第二象限，直线
轴，求点B的坐标；
(2)若A，D，E三点共线，椭圆T：
与内切，证明：D，E为椭圆T的两个焦点.
的垂心为D，外心为E，D和E关于原点O对称，.(1)若
，点B在第二象限，直线轴，求点B的坐标；(2)若A，D，E三点共线，椭圆T：
与内切，证明：D，E为椭圆T的两个焦点.
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解题方法
6 . 已知质数
，且曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求m的值；
(2)证明：对一切
，都有
．
，且曲线在点处的切线方程为．(1)求m的值；
(2)证明：对一切
，都有．
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解题方法
7 . 如图所示数阵，第
行共有
个数，第m行的第1个数为
，第2个数为
，第
个数为
.规定：
.
(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，
恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.
行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：.
(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列
，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.
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名校
8 . 已知抛物线
，过点
的直线与抛物线交于
两点，设抛物线在点处的切线分别为
和
，已知与轴交于点
与轴交于点
，设与的交点为.
(1)证明：点在定直线上；
(2)若
面积为
，求点的坐标；
(3)若
四点共圆，求点的坐标.
，过点的直线与抛物线交于两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点与轴交于点，设与的交点为.(1)证明：点
在定直线上；(2)若
面积为，求点的坐标；(3)若
四点共圆，求点的坐标.
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昨日更新
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1440次组卷
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3卷引用：湖北省武汉市2024届高三下学期四月调考数学试卷
9 . 已知T是
上的动点（A点是圆心），定点
，线段TB的中垂线交直线TA于点P.
(1)求P点轨迹
的方程；
(2)已知直线
的方程
，过点B的直线（不与轴重合）与曲线相交于M，N两点，过点M作
，垂足为 
①求证：直线ND过定点，并求出定点的坐标；
②点为坐标原点，求
面积的最大值.
上的动点（A点是圆心），定点，线段TB的中垂线交直线TA于点P.(1)求P点轨迹
的方程；(2)已知直线
的方程，过点B的直线（不与轴重合）与曲线相交于M，N两点，过点M作，垂足为 ①求证：直线ND过定点
，并求出定点的坐标；②点
为坐标原点，求面积的最大值.
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解题方法
10 . 已知椭圆
的左右顶点分别为
和
，离心率为
，且经过点
，过点作
垂直轴于点
．在轴上存在一点（异于），使得
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)判断直线
与椭圆的位置关系，并证明你的结论；
(3)过点作一条垂直于轴的直线，在上任取一点
，直线
和直线
分别交椭圆于
两点，证明：直线
经过定点．
的左右顶点分别为和，离心率为，且经过点，过点作垂直轴于点．在轴上存在一点（异于），使得．(1)求椭圆
的标准方程；(2)判断直线
与椭圆的位置关系，并证明你的结论；(3)过点
作一条垂直于轴的直线，在上任取一点，直线和直线分别交椭圆于两点，证明：直线经过定点．
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