1 . 设抛物线,过点的直线与交于两点,且.若抛物线的焦点为,记的面积分别为.
(2)设点,直线与抛物线的另一交点为,求证:直线过定点.
(3)我国古代南北朝数学家祖暅所提出的祖暅原理是“幂势既同,则积不容异”,即:夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.当为等腰直角三角形时,记线段与抛物线围成的封闭图形为绕轴旋转半周形成的曲面所围成的几何体为.试用祖桓原理的数学思想求出的体积.
(1)求的最小值.
(2)设点,直线与抛物线的另一交点为,求证:直线过定点.
(3)我国古代南北朝数学家祖暅所提出的祖暅原理是“幂势既同,则积不容异”,即:夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.当为等腰直角三角形时,记线段与抛物线围成的封闭图形为绕轴旋转半周形成的曲面所围成的几何体为.试用祖桓原理的数学思想求出的体积.
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名校
2 . 定义:若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合,则称为曲线的“双重切点”,直线为曲线的“双重切线”.
(1)直线是否为曲线的“双重切线”,请说明理由;
(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程;
(3)已知函数,直线为曲线的“双重切线”,记直线的斜率所有可能的取值为,若,证明:.
(1)直线是否为曲线的“双重切线”,请说明理由;
(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程;
(3)已知函数,直线为曲线的“双重切线”,记直线的斜率所有可能的取值为,若,证明:.
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2024-05-16更新
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1053次组卷
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4卷引用:辽宁省辽阳市2023-2024学年高三下学期二模数学试卷
辽宁省辽阳市2023-2024学年高三下学期二模数学试卷广西2024届高三4月模拟考试数学试卷河北省邢台市2024届高三下学期教学质量检测(一)数学试题(已下线)模块五 专题5 全真拔高模拟5(苏教版高二期中研习)
3 . 在直角坐标平面内,将函数及在第一象限内的图象分别记作,,点在上.过作平行于x轴的直线,与交于点,再过点作平行于y轴的直线,与交于点.
(1)若,请直接写出,的值;
(2)若,求证:是等比数列;
(3)若,求证:.
(1)若,请直接写出,的值;
(2)若,求证:是等比数列;
(3)若,求证:.
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4 . 我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线,都有令人惊奇的光学性质,且这些光学性质都与它们的焦点有关.如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上,经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点(如图所示,其中是反射镜面也是过点处的切线).已知双曲线(,)的左右焦点分别为,,从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处(点P在第一象限),经双曲线反射后过点.
当,,且直线的倾斜角为时,求反射光线所在的直线方程;
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处,且三点共线,经双曲线反射后过点,,,延长,分别交两条渐近线于,点是的中点,求证:为定值.
(3)在(2)的条件下,延长交y轴于点,当四边形的面积为8时,求的方程.
(1)请根据双曲线的光学性质,解决下列问题:
当,,且直线的倾斜角为时,求反射光线所在的直线方程;
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处,且三点共线,经双曲线反射后过点,,,延长,分别交两条渐近线于,点是的中点,求证:为定值.
(3)在(2)的条件下,延长交y轴于点,当四边形的面积为8时,求的方程.
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解题方法
5 . 设数列的前项和为,已知,且.
(1)证明:为等比数列,并求数列的通项公式;
(2)设,若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)高斯是德国著名数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用他名字定义的函数称为高斯函数,其中表示不超过的最大整数,如,,设,数列的前项和为,求除以16的余数.
(1)证明:为等比数列,并求数列的通项公式;
(2)设,若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)高斯是德国著名数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用他名字定义的函数称为高斯函数,其中表示不超过的最大整数,如,,设,数列的前项和为,求除以16的余数.
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2024-04-08更新
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1182次组卷
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2卷引用:辽宁省鞍山市第六中学2024届高三下学期第二次质量检测数学试题卷
名校
6 . 已知函数
(1)讨论的零点个数;
(2)当时,| 求a的取值范围.
(1)讨论的零点个数;
(2)当时,| 求a的取值范围.
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2024-04-04更新
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1302次组卷
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2卷引用:2024届辽宁省辽宁名校联盟(东北三省联考)高三3月模拟预测数学试题
7 . 已知圆和椭圆,椭圆的四个顶点为,如图.
(1)圆与平行四边形内切,求的最小值;
(2)已知椭圆的内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合.当a,b满足什么条件时,对上任意一点P,均存在以P为顶点与外切,与内接的平行四边形?并证明你的结论.
(1)圆与平行四边形内切,求的最小值;
(2)已知椭圆的内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合.当a,b满足什么条件时,对上任意一点P,均存在以P为顶点与外切,与内接的平行四边形?并证明你的结论.
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名校
解题方法
8 . 已知函数,(其中a,b为实数,且)
(1)当时,恒成立,求b;
(2)当时,函数有两个不同的零点,求a的最大整数值.(参考数据:)
(1)当时,恒成立,求b;
(2)当时,函数有两个不同的零点,求a的最大整数值.(参考数据:)
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解题方法
9 . 设定义在函数满足下列条件:
①对于,总有,且,;
②对于,若,则.
(1)求;
(2)证明:;
(3)证明:当时,.
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名校
解题方法
10 . 已知函数的定义域为区间值域为区间,若则称是的缩域函数.
(1)若是区间的缩域函数,求a的取值范围;
(2)设为正数,且若是区间的缩域函数,证明:
(i)当时,在单调递减;
(ii)
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