解题方法
1 . 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为
，转盘直径为
，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要
.
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动
后距离地面的高度为
，求在转动一周的过程中，
关于
的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动
后距离地面的高度；
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差
（单位：
）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
（参考公式与数据：
；
；
.）
，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要.(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动
后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；(2)求游客甲在开始转动
后距离地面的高度；(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差
（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.（参考公式与数据：
；；.）
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2024-02-05更新
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414次组卷
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2卷引用：河南省三门峡市五县市2023-2024学年高一上学期1期末调研考试数学试题
名校
2 . 设
是函数
定义域的一个子集，若存在
，使得
成立，则称
是
的一个“准不动点”，也称在区间上存在准不动点.已知
.
(1)若
，求函数的准不动点；
(2)若函数在区间
上存在准不动点，求实数
的取值范围.
是函数定义域的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“准不动点”，也称在区间上存在准不动点.已知.(1)若
，求函数的准不动点；(2)若函数
在区间上存在准不动点，求实数的取值范围.
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2023-12-15更新
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814次组卷
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6卷引用：河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高一上学期第四次月考数学试题
3 . 直径为8m的水轮如图所示，水轮圆心
距离水面2m，已知水轮沿逆时针方向匀速旋转，每分钟转动6圈，当水轮上点
从水中浮现时（图中点
）开始计算时间．
(1)将点距离水面的高度
表示为时间
的函数；
(2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点在水面下？
距离水面2m，已知水轮沿逆时针方向匀速旋转，每分钟转动6圈，当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间．(1)将点
距离水面的高度表示为时间的函数；(2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点
在水面下？
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4 . 阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：
，则称点P(，
)和直线l：
是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以
替换
，以
替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆
，与点P(，)对应的极线方程为
；对于双曲线
，与点P(，)对应的极线方程为
；对于抛物线
，与点P(，)对应的极线方程为
.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C：
经过点P(4，0)，离心率是
，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；
(2)已知Q是直线l：
上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当
时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：
，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C：
经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；(2)已知Q是直线l：
上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
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2023-02-19更新
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1287次组卷
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6卷引用：河南省信阳市新县高级中学2024届高三4月适应性考试数学试题
河南省信阳市新县高级中学2024届高三4月适应性考试数学试题贵州省贵阳市普通中学2022-2023学年高二上学期期末监测考试数学试题（已下线）第五篇 向量与几何 专题5 调和点列 微点4 调和点列综合训练（已下线）重难点突破18 定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题（四大题型）（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大题型）（练习）辽宁省名校联盟2023-2024学年高二下学期4月联合考试数学试卷
解题方法
5 . 据环保部门测定，某处的污染指数
与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离
成反比，比例常数为
，其关系式为
.现已知相距20km的
，
两家化工厂（污染源）的污染强度分别为5，2，它们连线上任意一点
处的污染指数
等于两化工厂对该处的污染指数之和.设
，
.若为
的中点时，处的污染指数为1.4.
(1)试将表示为
的函数；
(2)求的最小值.
与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为，其关系式为.现已知相距20km的，两家化工厂（污染源）的污染强度分别为5，2，它们连线上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设，.若为的中点时，处的污染指数为1.4.(1)试将
表示为的函数；(2)求
的最小值.
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2022-11-14更新
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152次组卷
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2卷引用：河南省2022-2023学年高一上学期选调考试（二）数学试题
名校
解题方法
6 . 对于函数
，若存在
，使得
成立，则称为的不动点，已知函数
的两个不动点分别是-2和1.
(1)求
的值及的表达式；
(2)当函数的定义域是
时，求函数的最大值
.
，若存在，使得成立，则称为的不动点，已知函数的两个不动点分别是-2和1.(1)求
的值及的表达式；(2)当函数
的定义域是时，求函数的最大值.
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2022-10-12更新
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903次组卷
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8卷引用：河南省南阳市六校2022学年高一上学期第一次联考数学试题
名校
7 . 去年以来新冠肆虐，我国在党中央的领导下迅速控制住新冠疫情，但完全消除新冠的威胁仍需要长期的努力.某医疗企业为了配合国家的防疫战略，决定投入
万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前
年的支出成本为
万元，每年的销售收入
万元.
(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以
万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以
万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由.（注：
）
万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入万元.(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以
万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以
万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由.（注：
）
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2022-10-29更新
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483次组卷
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5卷引用：河南省郑州市郑州外国语学校2021-2022学年高一上学期期中数学试题
解题方法
8 . 在水平桌面上放一只内壁光滑的玻璃水杯，已知水杯内壁为抛物面型（抛物面指抛物线绕其对称轴旋转
所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一､质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.
(1)请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；
(2)以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为
，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为
，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.
所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一､质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.(1)请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；
(2)以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为
，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.
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解题方法
9 . 已知函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的
，总有
，则称函数具有性质
.
(1)判断下列函数是否具有性质
，并说明理由；①
；②
.
(2)若函数
具有性质
，求实数a的取值范围.
(3)若函数
具有性质，求b的值.
的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质.(1)判断下列函数是否具有性质
，并说明理由；①；②.(2)若函数
具有性质，求实数a的取值范围.(3)若函数
具有性质，求b的值.
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2022-02-27更新
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183次组卷
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2卷引用：河南省焦作市 2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
名校
10 . 对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有
A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，
B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，
A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，
B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}，据此，试回答下列问题．
(1)已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D；
(2)已知A×B＝{(1，2)，(2，2)}，求集合A，B；
(3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素．
A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，
B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，
A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，
B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}，据此，试回答下列问题．
(1)已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D；
(2)已知A×B＝{(1，2)，(2，2)}，求集合A，B；
(3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素．
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2022-09-29更新
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121次组卷
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9卷引用：河南省南召衡越实验中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题
河南省南召衡越实验中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题人教B版(2019) 必修第一册 过关斩将 第一章 专题强化练2 集合中的“新定义”问题（已下线）[新教材精创]第一章集合练习-苏教版高中数学必修第一册（已下线）【师说智慧课堂】1.3.2集合的运算（二）检测题-2021-2022学年高中数学新教材同步练习（已下线）【课时作业】第2课时 全集、补集及综合应用-2021-2022学年高一数学《新教材同步精典导学案》（人教A版2019必修第一册）（已下线）第一章本章回顾福建省福州市福清西山学校2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题苏教版（2019）必修第一册课本习题第1章复习题山东省泰安市泰山中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题
