解题方法
1 . 已知双曲线
的两条渐近线分别为
上一点
到
的距离之积为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)设双曲线的左、右两个顶点分别为
为直线
上的动点，且
不在
轴上，直线
与的另一个交点为
，直线
与的另一个交点为
，直线
与轴的交点为
，直线
与的交点为
，证明
．
的两条渐近线分别为上一点到的距离之积为．(1)求双曲线
的方程；(2)设双曲线
的左、右两个顶点分别为为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，直线与轴的交点为，直线与的交点为，证明．
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2 . 已知函数
．
(1)判断函数
在区间
上极值点和零点的个数，并给出证明；
(2)若
恒成立，求实数
．
．(1)判断函数
在区间上极值点和零点的个数，并给出证明；(2)若
恒成立，求实数．
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3 . 对于数列
，记
，称数列
为数列
的一阶差分数列；记
，称数列
为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于
，记
，规定：
，称
为数列的
阶差分数列．对于数列，如果
（
为常数），则称数列为阶等差数列．
(1)数列
是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？
(2)请用
表示
，并归纳出表示
的正确结论（不要求证明）；
(3)请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列为阶等差数列，则其前
项和为
；
(4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？
，记，称数列为数列的一阶差分数列；记，称数列为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于，记，规定：，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列．(1)数列
是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？(2)请用
表示，并归纳出表示的正确结论（不要求证明）；(3)请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列
为阶等差数列，则其前项和为；(4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？
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4 . 为了释放学生压力，某校进行了一个投篮游戏．甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛每人各投一次为一轮．每人投一次篮，两人中只有1人命中，命中者得1分，未命中者得
分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投篮命中的概率为
，乙每次投篮命中的概率为
，且各次投篮结果互不影响．
(1)经过1轮投篮，记甲的得分为
，求的分布列及数学期望；
(2)用
表示经过第
轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率，求
．
分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮结果互不影响．(1)经过1轮投篮，记甲的得分为
，求的分布列及数学期望；(2)用
表示经过第轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率，求．
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5 . 在
中，角
，
，的对边分别为，
，
，已知的面积为
．
(1)求
；
(2)若
，求
．
中，角，，的对边分别为，，，已知的面积为．(1)求
；(2)若
，求．
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名校
6 . 如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2的正方形，
，是
的中点，是线段
上一点，且
平面
，
．
平面；
(2)求平面
和平面
所成的二面角的正弦值．
中，底面是边长为2的正方形，，是的中点，是线段上一点，且平面，．
平面；(2)求平面
和平面所成的二面角的正弦值．
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2024-02-20更新
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309次组卷
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3卷引用：江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高三下学期期初检测数学试题
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高三下学期期初检测数学试题江苏省常州市2023-2024学年高三上学期期末学业水平监测数学试卷（已下线）模块三 专题2 解答题分类练 专题4 空间向量的应用（苏教版）
名校
7 . 为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据
个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）
(1)依据
的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性；
(2)用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取
只，用药物进行治疗．已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为
．若共选取
次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望．
附：
，
.
对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）| 药物 | 疾病 | ||
| 未患病 | 患病 | 合计 | |
| 未服用 |  |  |  |
| 服用 | |  |  |
| 合计 |  |  | |
的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性；(2)用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取
只，用药物进行治疗．已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为．若共选取次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望．附：
，. | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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2024-02-20更新
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515次组卷
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5卷引用：江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高三下学期期初检测数学试题
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高三下学期期初检测数学试题（已下线）专题13 成对数据的统计分析（七大题型+过关检测专训）-2023-2024学年高二数学《重难点题型·高分突破》（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）8.3 列联表与独立性检验（分层练习，6大题型）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）9.2 独立性检验（五大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）（已下线）8.3.2 独立性检验——课后作业（提升版）
名校
解题方法
8 . 设函数
(1)若函数
与
的图象存在公切线，求a的取值范围
(2)若函数
有两个零点
，求证：
.
(1)若函数
与的图象存在公切线，求a的取值范围(2)若函数
有两个零点，求证：.
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2023-12-20更新
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719次组卷
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3卷引用：江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高三下学期期初检测数学试题
名校
9 . 已知直四棱柱
中，底面为菱形，
，
，
，E为线段
上中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求
与平面所成角的正弦值.
中，底面为菱形，，，，E为线段上中点.(1)证明：
平面；(2)求
与平面所成角的正弦值.
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2023-09-13更新
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684次组卷
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2卷引用：江苏省镇江市2023-2024学年高三上学期期初考试数学试题
解题方法
10 . 在三棱锥
中，
，
，
，D是的中点.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求二面角
正弦值；
(3)求直线
与平面
所成的角.
中，，，，D是的中点. (1)求证：平面
平面；(2)求二面角
正弦值；(3)求直线
与平面所成的角.
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