1 . 已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线与的斜率之积为定值；
(3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论．

2 . 三角比内容丰富，公式很多.若仔细观察，大胆猜想，科学求证，你能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题：
（1）计算：及；
（2）根据（1）的计算结果，请你猜想出一个一般性结论，并证明你的结论.

3 . 已知函数，其中a为非零常数．
讨论的极值点个数，并说明理由；
若，证明：在区间内有且仅有1个零点；设为的极值点，为的零点且，求证：．

4 . 如图,在三棱柱中,平面为正三角形, 侧面是边长为的正方形,为的中点.

（1）求证平面;
（2）求二面角的余弦值;
（3）试判断直线与平面的位置关系,并加以证明.

5 . 设向量，（为正整数），函数在上的最小值与最大值的和为.又数列满足：.
（1）求证：；
（2）求的表达式；
（3）若，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？证明你的结论.

6 . 完成下列证明：
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求证：.

7 . 三角比内容丰富，公式很多，若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题：
（1）计算：,,；
（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般的结论用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程.

8 . 双曲线：
（1）已知双曲线的实轴长为，渐近线方程为．求双曲线的标准方程；
（2）若双曲线与直线交于、两点，且 (为原点)，求证：行列式的值为常数；
（3）可以证明：函数的图像是由双曲线的图像逆时针旋转得到的．用类似的方法可以得出：函数的图像也是双曲线．按教材对双曲线的性质的研究，请列出双曲线的性质（不必证明）.

9 . （1）请直接运用任意角的三角比定义证明：；
（2）求证：．

10 . 如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.

（1）求证：;
（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.