1 . 已知无穷数列
是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合
．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项
，使得
，则称数列具有性质
，记集合
数列具有性质
．
(1)若数列的通项公式为
写出集合A与集合B；
(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当
时，证明：
；
(3)若满足
，证明：
．
是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质．(1)若数列
的通项公式为写出集合A与集合B；(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当
时，证明：；(3)若
满足，证明：．
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名校
解题方法
2 . 已知函数
关于点
中心对称．
(1)求函数
的解析式；
(2)讨论
在区间
上的单调性；
(3)设
，证明：
．
关于点中心对称．(1)求函数
的解析式；(2)讨论
在区间上的单调性；(3)设
，证明：．
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3 . 将
这20个正整数分成
、B两组，使得组所有数的和等于
，而
组所有数的乘积也等于.求所有可能的取值.
这20个正整数分成、B两组，使得组所有数的和等于，而组所有数的乘积也等于.求所有可能的取值.
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4 . 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，并根据小石子所排列的形状把数分成许多类．现有三角形数表按如图的方式构成，其中项数
：第一行是以1为首项，2为公差的等差数列．从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：
；
为数表中第
行的第
个数．
和
；
(2)一般地，证明一个与正整数
有关的命题，可按下列步骤进行：①证明当
时命题成立；②以“当
时命题成立”为条件，推出“当
时命题也成立．”完成这两个步骤就可以断定命题对
开始的所有正整数都成立，这种方法即数学归纳法．请证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求
关于
的表达式；
(3)若
，
，试求一个等比数列
，使得
，且对于任意的
，均存在实数
，当
时，都有
．
：第一行是以1为首项，2为公差的等差数列．从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数．
和；(2)一般地，证明一个与正整数
有关的命题，可按下列步骤进行：①证明当时命题成立；②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立．”完成这两个步骤就可以断定命题对开始的所有正整数都成立，这种方法即数学归纳法．请证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于的表达式；(3)若
，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数，当时，都有．
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2024-03-06更新
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313次组卷
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2卷引用：湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二下学期3月联考数学试卷
5 . 国际象棋是国际通行的智力竞技运动.国际象棋使用
格黑白方格相间棋盘，骨牌为每格与棋盘的方格大小相同的
格灰色方格.若某种黑白相间棋盘与骨牌满足以下三点：①每块骨牌覆盖棋盘的相邻两格；②棋盘上每一格都被骨牌覆盖；③没有两块骨牌覆盖同一格，则称骨牌构成了棋盘的一种完全覆盖.显然，我们能够举例说明格黑白方格相间棋盘能被骨牌完全覆盖.格黑白方格相间棋盘的对角两格，余下棋盘不能被骨牌完全覆盖；
(2)请你切掉格的黑白方格相间棋盘的任意两个异色方格，然后画出余下棋盘的一种骨牌完全覆盖方式，并证明：无论切掉的是哪两个异色方格，余下棋盘都能被骨牌完全覆盖；
(3)记
格黑白方格相间棋盘的骨牌完全覆盖方式数为
，数列
的前n项和为
，证明：
.
格黑白方格相间棋盘，骨牌为每格与棋盘的方格大小相同的格灰色方格.若某种黑白相间棋盘与骨牌满足以下三点：①每块骨牌覆盖棋盘的相邻两格；②棋盘上每一格都被骨牌覆盖；③没有两块骨牌覆盖同一格，则称骨牌构成了棋盘的一种完全覆盖.显然，我们能够举例说明格黑白方格相间棋盘能被骨牌完全覆盖.
格黑白方格相间棋盘的对角两格，余下棋盘不能被骨牌完全覆盖；(2)请你切掉
格的黑白方格相间棋盘的任意两个异色方格，然后画出余下棋盘的一种骨牌完全覆盖方式，并证明：无论切掉的是哪两个异色方格，余下棋盘都能被骨牌完全覆盖；(3)记
格黑白方格相间棋盘的骨牌完全覆盖方式数为，数列的前n项和为，证明：.
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2024-03-06更新
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554次组卷
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4卷引用：山东省菏泽第一中学人民路校区2024届高三下学期开学考试数学试题
山东省菏泽第一中学人民路校区2024届高三下学期开学考试数学试题（已下线）第四套 最新模拟重组卷江苏省苏州大学2024届高考新题型2月指导卷数学试题（已下线）压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总
解题方法
6 . 数列
满足
且
，
，
，
构成等差数列.
(1)试求出所有三元实数组(α,β,γ)，使得为等比数列.
(2)若
，求的通项公式.
满足且，，，构成等差数列.(1)试求出所有三元实数组(α,β,γ)，使得
为等比数列.(2)若
，求的通项公式.
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解题方法
7 . 已知数列满足
，
，且
，记数列的前n项和为，前n项积为
，则下列说法正确的有（ ）
满足，，且，记数列的前n项和为，前n项积为，则下列说法正确的有（ ）A． ，使得 | B． |
C． | D． |
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
8 . 在数列中，若
，且
．
(1)试写出数列的前六项．
(2)求出中另两个可被5整除的项，并指出分别是第几项．
(3)指出中可被5整除的项出现的规律，并说明理由．
(4)
能否取其他的自然数的值，使数列不出现5的倍数？为什么？
(5)取怎样的自然数，才使中不出现5的倍数？试找出其中取数规律，并说明理由．
中，若，且．(1)试写出数列
的前六项．(2)求出
中另两个可被5整除的项，并指出分别是第几项．(3)指出
中可被5整除的项出现的规律，并说明理由．(4)
能否取其他的自然数的值，使数列不出现5的倍数？为什么？(5)
取怎样的自然数，才使中不出现5的倍数？试找出其中取数规律，并说明理由．
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23-24高三上·广东深圳·阶段练习
名校
解题方法
9 . 已知数列的首项不为0，前项的和为，满足
．
(1)证明：
；
(2)若
，证明：
；
(3)是否存在常数
，使得为等比数列?若存在，求出的所有可能值；若不存在，说明理由．
的首项不为0，前项的和为，满足．(1)证明：
；(2)若
，证明：；(3)是否存在常数
，使得为等比数列?若存在，求出的所有可能值；若不存在，说明理由．
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名校
10 . 已知是无穷数列，
，
，且对于中任意两项
，
，在中都存在一项
，使得
.
(1)若
，
，求
；
(2)若
，求证：数列中有无穷多项为0；
(3)若
，求数列的通项公式.
是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得.(1)若
，，求；(2)若
，求证：数列中有无穷多项为0；(3)若
，求数列的通项公式.
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