1 . 设，函数．
(1)判断的零点个数，并证明你的结论；
(2)若，记的一个零点为，若，求证：．

2 . 已知函数，其中.
(1)若的图象在处的切线过点，求a的值；
(2)证明：，，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数；
(3)当时，求证：有3个零点，且3个零点之积为定值.

3 . 已知函数
(1)直接写出函数的零点和不等式的解集；
(2)直接写出函数的定义域和值域；
(3)求证：函数的图象关于点中心对称；
(4)用单调性定义证明：函数在区间上是减函数；
(5)设，直接写出它的反函数．

4 . 已知函数.
(1)判断函数的单调性，并证明；
(2)若，记，求证：有且只有一个零点.

5 . 已知函数．
(1)求值：；
(2)判断函数的单调性，并证明你的结论：
(3)求证有且仅有两个零点并求的值．

6 . 已知连续不断函数，.
（1）求证：函数在区间上有且只有一个零点；
（2）现已知函数在上有且只有一个零点(不必证明)，记和在上的零点分别为，试求的值.

7 . 设，函数，.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数有两个零点，，试证明：.

8 . 对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数.
(1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）：
①；
②.
(2)若为阶梯函数，求的所有可能取值；
(3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有.若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为；若时，证明：存在，使得在上有4046个零点，且.

10 . 已知奇函数（）
(1)求实数的值；
(2)判断并用定义证明函数的单调性；
(3)若函数在区间（）上的取值范围为，求实数的取值范围.