名校
解题方法
1 . 2022年是合肥一六八中学建校20周年,学校届时将举行20周年校庆活动,其中会建立校史展览馆并向各界校友及友好人士展出一六八中学自建校以来的大事记.已知展览馆的某一部分平面图如图所示,AB的长为18米,点C到x轴和y轴的距离分别是6米和9米,其中边界ACB是函数图像的一部分,前一段AC是函数图像的一部分,后一段CB是一条线段,现要在此处建一个陈列馆,平面图为直角梯形DEBF(其中BE、DF为两个底边).
(1)求函数的解析式;
(2)求梯形DEBF面积的最大值.
(1)求函数的解析式;
(2)求梯形DEBF面积的最大值.
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名校
2 . 定义:如果函数在定义域内存在实数,使得成立,其中为大于0的常数,则称点为函数的级“平移点”.
(1)分别求出函数及的2级“平移点”,及再写出一个存在2级“平移点”的函数解析式,并说明理由;
(2)若函数在上存在1级“平移点”,求实数的取值范围.
(1)分别求出函数及的2级“平移点”,及再写出一个存在2级“平移点”的函数解析式,并说明理由;
(2)若函数在上存在1级“平移点”,求实数的取值范围.
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3 . 函数.
(1)求函数在的值域;
(2)记分别是的导函数,记表示实数的最大值,记函数,讨论函数的零点个数.
(1)求函数在的值域;
(2)记分别是的导函数,记表示实数的最大值,记函数,讨论函数的零点个数.
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解题方法
4 . 对于正实数有基本不等式:,其中,为的算术平均数,,为的几何平均数.现定义的对数平均数:
(1)设,求证::
(2)①证明不等式::
②若不等式对于任意的正实数恒成立,求正实数的最大值.
(1)设,求证::
(2)①证明不等式::
②若不等式对于任意的正实数恒成立,求正实数的最大值.
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2022-05-11更新
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490次组卷
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6卷引用:浙江省宁波市十校2021-2022学年高三上学期期末联考数学试题
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解题方法
5 . 对于函数,如果其图象上存在不同的两点,,,使得这两点处的切线重合,那么我们称函数存在“双切点切线”.已知函数
(1)已知函数的一条“双切点切线”的斜率等于1,切点、的横坐标,求实数的值;
(2)如果函数存在“双切点切线”,求实数的取值范围.
(1)已知函数的一条“双切点切线”的斜率等于1,切点、的横坐标,求实数的值;
(2)如果函数存在“双切点切线”,求实数的取值范围.
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6 . 形如的函数称为幂指函数,幂指函数在求导时,可以利用对数法:在函数解析式两边取对数得,两边对求导数,得,于是.已知,.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)若,恒成立,求的取值范围.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)若,恒成立,求的取值范围.
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名校
7 . 对于定义在D上的函数,其导函数为.若存在,使得,且是函数的极值点,则称函数为“极致k函数”.
(1)设函数,其中,.
①若是单调函数,求实数a的取值范围;
②证明:函数不是“极致0函数”.
(2)对任意,证明:函数是“极致0函数”.
(1)设函数,其中,.
①若是单调函数,求实数a的取值范围;
②证明:函数不是“极致0函数”.
(2)对任意,证明:函数是“极致0函数”.
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2021-11-04更新
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970次组卷
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4卷引用:北师大版(2019) 选修第二册 突围者 第二章 第六节 课时2 函数的极值
名校
8 . 已知函数,
(1)讨论函数的单调性;
(2)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,,如果对于函数图象上的点(其中)总能使得成立,则称函数具备性质“”.试判断函数是不是具备性质“”,并说明理由
(1)讨论函数的单调性;
(2)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,,如果对于函数图象上的点(其中)总能使得成立,则称函数具备性质“”.试判断函数是不是具备性质“”,并说明理由
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20-21高二·全国·单元测试
9 . 规定,其中x∈R,m为正整数,且,这是排列数(n,m是正整数,n≤m)的一种推广.
(1)求的值;
(2)排列数的两个性质:①,②(其中m,n是正整数).是否都能推广到(x∈R,m是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能,则说明理由;
(3)已知函数,试讨论函数f(x)的零点个数.
(1)求的值;
(2)排列数的两个性质:①,②(其中m,n是正整数).是否都能推广到(x∈R,m是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能,则说明理由;
(3)已知函数,试讨论函数f(x)的零点个数.
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解题方法
10 . 易拉罐用料最省问题的研究.小明同学最近注意到一条新闻,易拉罐(如图所示)作为饮品的容器,每年的用量可达数万亿个.这让他想到一个用料最优化的问题,即在易拉罐的体积一定的情况下,如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省?他研究发现易拉罐的上盖、下底和侧壁的厚度是不同的,进而结合数学建模知识进行了深入研究.以下是小明的研究过程,请你补全缺失的部分.
以下是小明的研究过程,请你补全缺失的部分.
(1)模型假设:
①易拉罐近似看成圆柱体;
②上盖、下底、侧壁的厚度处处均匀;
③上盖、下底、侧壁所用金属相同;
④易拉罐接口处的所用材料忽略不计.
(2)建立模型
记圆柱体积为,高为,底面半径为,上盖、下底和侧壁的厚度分别为,
金属用料总量为C.
由几何知识得到如下数量关系:
①
②
因为都是常数,不妨设,
则用料总量的函数简化为.
请写出表格中代入整理这一步的目的是:___________________________.
(3)求解模型:
所以,在___________(用表示)时,取得最小值,即在此种情况下用料最省.
(4)检验模型:
小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据,得知,代入(3)的模型结果,经计算得经验算,确认计算无误,但是这与实际罐体半径差异较大.实际上,在经济利益驱动之下,目前的罐体成本应该已经达最优.
(5)模型评价与改进:
模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为:_________________________________________________________________________________________________.
相应改进措施为:_________________________________________________________________________________________________________________________________.
以下是小明的研究过程,请你补全缺失的部分.
(1)模型假设:
①易拉罐近似看成圆柱体;
②上盖、下底、侧壁的厚度处处均匀;
③上盖、下底、侧壁所用金属相同;
④易拉罐接口处的所用材料忽略不计.
(2)建立模型
记圆柱体积为,高为,底面半径为,上盖、下底和侧壁的厚度分别为,
金属用料总量为C.
由几何知识得到如下数量关系:
①
②
由①得,代入②整理得:. |
则用料总量的函数简化为.
请写出表格中代入整理这一步的目的是:___________________________.
(3)求解模型:
所以,在___________(用表示)时,取得最小值,即在此种情况下用料最省.
(4)检验模型:
小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据,得知,代入(3)的模型结果,经计算得经验算,确认计算无误,但是这与实际罐体半径差异较大.实际上,在经济利益驱动之下,目前的罐体成本应该已经达最优.
(5)模型评价与改进:
模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为:_________________________________________________________________________________________________.
相应改进措施为:_________________________________________________________________________________________________________________________________.
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