1 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.

2 . 已知.
（1）试比较a与b的大小，并证明你的结论；
（2）求证：对任意正数x，y以a，b，c为三边可构成三角形的充要条件是.

3 . 已知定理：“若a，b为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”，设函数，定义域为A.
（1）试证明的图象关于点成中心对称；
（2）当时，求证：.
（3）对于给定的，设计构造过程：.如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止.若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值.

4 . 设，我们常用来表示不超过最大整数.如：.

(1)求证：；
(2)在锐角中，角所对的边分别为，且，则的最小值为，求的值.
(3)已知，若对，使不等式成立，求实数的取值范围.

5 . 已知函数．
(1)求函数在区间上的值域；
(2)求证：函数在区间上有且仅有一个零点；
(3)设为函数在区间上的零点，求证：．

6 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，求证：.

7 . 已知函数.

(1)判断函数的奇偶性，并利用定义证明；
(2)判断函数单调性（不需要证明），并画出的图像.
(3)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.

8 . 已知，函数．
(1)若对，恒成立，求a的取值范围；
(2)若在点处的切线为，与x轴的交点为，证明：．

9 . 已知函数的图象经过点
(1)求的值；
(2)判断函数在的单调性，并用定义法证明；
(3)求函数在的最大值.

10 . 已知函数．
(1)判断的奇偶性，并说明理由；
(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明；
(3)求函数在上的最大值和最小值．