1 . 已知函数，.
（1）当时，
（i）求在上的值域；
（ii）证明：函数在上只有一个零点；
（2）试讨论在上的零点个数.

2 . 已知二次函数.
（1）、为整数且，若函数在区间上单调递增.
①求、的值；
②函数，已知在区间上函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围；
（2）函数在区间上是否存在零点，请证明你的结论.

3 . 已知奇函数f（x），函数g（θ）＝cos²θ+2sinθ，θ∈[m，]．m，b∈R．
（1）求b的值；
（2）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性，并证明；
（3）当x∈[0，1]时，函数g（θ）的最小值恰为f（x）的最大值，求m的取值范围．

4 . 若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”．
（1）试判断函数与是否是“函数”；
（2）若函数为“函数”，求实数的取值范围；
（3）若函数为“函数”，且，求证：对任意，都有 ．

5 . 在平面直角坐标系中，点点关于原点对称的点为二次函数的图像经过点和点回答以下问题：
（1）用表示和的图像的顶点的纵坐标；
（2）证明：若二次函数的图像上的点满足，则向量与的数量积大于.
（3）当变化时，求中二次函数顶点纵坐标的最大值，并求出此时的值.

6 . 对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.
（1）求证：是函数的一个“优美区间”.
（2）求证：函数不存在“优美区间”.
（3）已知函数（）有“优美区间”，当a变化时，求出的最大值.

7 . 已知函数（，R，），且对任意实数，恒成立.

（1）求证：；

（2）若当时，不等式对满足条件的，恒成立，求的最小值.

8 . 已知函数.
(1)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)求证：对任意，，都有成立；
(3)对于给定的正数，有一个最大的正数，使得整个区间上，不等式恒成立，求出的解析式.