1 . 已知中，过重心G的直线交边于P，交边于Q，设的面积为，的面积为，，.
(1)求；
(2)求证：.
(3)求的取值范围.

2 . 对于定义域为的函数，如果存在区间.同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.
(1)求证：，是函数的一个“优美区间”；
(2)函数是否存在“优美区间”？若存在，求出它的“优美区间”，若不存在，请说明理由.
(3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值.

3 . 如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆O的直径，.

(1)证明：平面平面；
(2)设E，F分别为，上的动点，且（），问当x为何值时，三棱锥的体积最大？并求出最大值.

4 . 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数是自然对数的底数，）．
利用上述性质，解决以下问题：
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)证明：对任意实数，为定值；
(3)已知，记函数，的最小值为，求．

5 . 已知函数，．
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)设，若的定义域和值域都是，求的最大值．

6 . 在①，②这两个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答．
已知函数满足______．
(1)求的值；
(2)若函数，证明：．

7 . 已知函数，．
(1)若的值域为，求a的值．
(2)证明：对任意，总存在，使得成立．

8 . 设，若，，求证：
(1)方程有实数根；
(2)；
(3)设，是方程的两个实数根，则．

9 . 已知函数（常数）.
(1)当时，用定义证明在区间上是严格增函数；
(2)根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)令，设在区间上的最小值为，求的表达式.

10 . 已知二次函数．
(1)当时，用作差法证明：；
(2)已知当时，恒成立，试求实数的取值范围．