1 . 已知函数的定义域为，且对于任意的，恒有，且，当时，恒有.
(1)求的值：
(2)求证：在上是单调增函数；
(3)如果，求函数的最小值的表达式.

2 . 对于定义域为的函数，如果存在区间.同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.
(1)求证：，是函数的一个“优美区间”；
(2)函数是否存在“优美区间”？若存在，求出它的“优美区间”，若不存在，请说明理由.
(3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值.

3 . 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”．
(1)写出函数的一个“优美区间”；
(2)求证：函数不存在“优美区间”；
(3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值．

4 . 已知函数，，.
(1)若函数与的图象的一个交点的横坐标为2，求a；
(2)若，求证：.

5 . 已知，为常数，函数．
(1)当时，求关于的不等式的解集；
(2)对于给定的，，且，，证明：关于的方程在区间内有一个实根；
(3)若为偶函数，且，设，若对任意，均成立，求实数的取值范围．

6 . 已知函数.
(1)当时，用定义法证明函数在上是减函数；
(2)已知二次函数满足，，若不等式恒成立，求的取值范围.

7 . 已知定义在区间上的函数.
(1)求函数的零点；
(2)若方程有四个不相等的实数根，，证明：；
(3)设函数，，若对任意的，总存在，使得，求的取值范围.

8 . 设m为实数，已知函数
(1)判断的奇偶性，并给出证明；
(2)设函数，当时，求的最大值；
(3)若函数的最小值为，求m的值.

9 . 已知集合．
(1)设，求的取值范围；
(2)对任意，证明：．

10 . 已知函数.
(Ⅰ)证明：当变化，函数的图象恒经过定点；
(Ⅱ)当时，设，且，求（用表示）；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由.