1 . 已知函数.
(1)是的导函数，求的最小值；
(2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）

2 . 已知函数，其中.
(1)求函数的最小值；
(2)若有两个极值点，求实数的取值范围，并证明：

3 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间和最大值；
(2)设函数有两个零点，证明：．

4 . 如图，AB是半球的直径，O为球心，，C为半大圆弧的中点，P为同一半大圆弧上的任意一点（异于A，B，C），P在水平大圆面AOB内的射影为Q，过Q作于R，连接PR，OP.

(1)若C，P为不同的两点，求证：；
(2)若半大圆面ACB与水平大圆面夹角大小为，求三棱锥体积的取值范围.

5 . 已知函数和有相同的最大值.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

6 . 设函数，，.
(1)求在上的单调区间；
(2)若在y轴右侧，函数图象恒不在函数的图象下方，求实数a的取值范围；
(3)证明：当时，.

7 . 已知函数，．
(1)当时，证明：在上恒成立；
(2)若有2个零点，求a的取值范围．

8 . 设函数，，.
(1)求的最小值，并证明：；
(2)若不等式：成立，求实数a的取值范围.

9 . 已知函数．
(1)为函数的导函数，对任意的恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若函数有两个不同的极值点，证明：．

10 . 已知函数，且f（x）在内有两个极值点（）．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：．