1 . 已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

2 . 已知函数．
(1)对任意恒成立，求的取值范围；
(2)有两个解，，求证：．

3 . 给出下列两个定义：
I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

4 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)已知，证明：（其中e是自然对数的底数）

5 . 已知函数，曲线在处的切线方程为．
(1)求的解析式；
(2)当时，求证：；
(3)若对任意的恒成立，求实数k的取值范围.

6 . 已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，，则．

7 . 设函数，曲线在点处的切线斜率为1．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间与极值；
(3)求证：．

8 . 已知（e为自然对数的底数）
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：当时，恒成立；
(3)已知，如果当时，恒成立，求的最大值.

9 . 已知函数．
(1)若在恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：．

10 . 已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.