1 . 若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合,则称该切线为函数的图象的“自公切线”,称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”,并说明理由;
(2)若,求证:函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;
(3)设,的零点为,,求证:“存在,使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”,并说明理由;
(2)若,求证:函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;
(3)设,的零点为,,求证:“存在,使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
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2 . 已知定义在上的函数的表达式为,其所有的零点按从小到大的顺序组成数列().
(1)求函数在区间上的值域;
(2)求证:函数在区间()上有且仅有一个零点;
(3)求证:.
(1)求函数在区间上的值域;
(2)求证:函数在区间()上有且仅有一个零点;
(3)求证:.
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3 . 已知,函数的导函数为.
(1)当时,求在处的切线方程;
(2)求函数的极值点;
(3)函数的图象上是否存在一个定点,使得对于定义域内的任意实数,都有成立?证明你的结论.
(1)当时,求在处的切线方程;
(2)求函数的极值点;
(3)函数的图象上是否存在一个定点,使得对于定义域内的任意实数,都有成立?证明你的结论.
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4 . 设,记,令有穷数列为零点的个数,则有以下两个结论:①存在,使得为常数列;②存在,使得为公差不为零的等差数列.那么( )
A.①正确,②错误 | B.①错误,②正确 |
C.①②都正确 | D.①②都错误 |
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5 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性和极值;
(2)记曲线在处的切线为,求证:与有且仅有1个公共点.
(1)讨论函数的单调性和极值;
(2)记曲线在处的切线为,求证:与有且仅有1个公共点.
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6 . 已知函数有两个零点,则实数的取值范围是__________ .
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7 . 对三次函数,如果其存在三个实根,则有.称为三次方程根与系数关系.
(1)试讨论函数的单调性.
(2)对三次函数,设,存在,满足.证明:存在,使得;
(3)称是上的广义正弦函数当且仅当存在极值点,使得.在平面直角坐标系中,是第一象限上一点,设.已知在上有两根.
(i)证明:在上存在两个极值点的充要条件是;
(ii)求点组成的点集,满足是上的广义正弦函数.
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8 . 已知函数,取点,过其作曲线切线交轴于点 ,取点,过其作曲线作切线交轴于,若,则停止操作,以此类推,得到数列.
(1)若正整数,证明
(2)若正整数,试比较与 大小;
(3)若正整数,是否存在k使得依次成等差数列? 若存在,求出k的所有取值,若不存在,试说明理由.
(1)若正整数,证明
(2)若正整数,试比较与 大小;
(3)若正整数,是否存在k使得依次成等差数列? 若存在,求出k的所有取值,若不存在,试说明理由.
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9 . 已知定义在上的函数,且,则函数的零点个数为______ .
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10 . 已知函数,给出下列命题:
(1)无论取何值,恒有两个零点;
(2)存在实数,使得的值域是;
(3)存在实数使得的图象上关于原点对称的点有两对;
(4)当时,若的图象与直线有且只有三个公共点,则实数的取值范围是.其中,正确命题的个数是( )
(1)无论取何值,恒有两个零点;
(2)存在实数,使得的值域是;
(3)存在实数使得的图象上关于原点对称的点有两对;
(4)当时,若的图象与直线有且只有三个公共点,则实数的取值范围是.其中,正确命题的个数是( )
A.1个 | B.2个 | C.3个 | D.4个 |
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