解题方法
1 . 如果
(1)求证：
；
(2)若
为三角形的三个内角，判断
与
的大小关系，并予以证明．
(1)求证：
；(2)若
为三角形的三个内角，判断与的大小关系，并予以证明．
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2 . （1）在用“五点法”作出函数
的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：
（2）设实数
且
，求证：
；（可以使用公式：
）
（3）证明：等式
对任意实数
恒成立的充要条件是
的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表：
| 0 | ||||
| 0 | ||||
| 1 |
且，求证：；（可以使用公式：）（3）证明：等式
对任意实数恒成立的充要条件是
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3 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线，1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程
，其中
为参数．当
时，就是双曲余弦函数
，类似的我们可以定义双曲正弦函数
．它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)求证：
；
(2)对
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，试比较
与
的大小关系，并证明你的结论.
，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)求证：
；(2)对
，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)若
，试比较与的大小关系，并证明你的结论.
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解题方法
4 . 已知数列
中
，关于的函数
有唯一零点，记
．
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)求
；
(3)求证：
；
中，关于的函数有唯一零点，记．(1)判断函数
的奇偶性并证明；(2)求
；(3)求证：
；
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5 . 记
表示数组：
中的最大值.
(1)判断函数
，
的奇偶性，并说明理由；
(2)讨论函数
，的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、最值与零点（不需要证明）；
(3)已知函数
，
与
都定义在实数集
上，且函数是单调递增函数，是周期函数，是单调递减函数，求证：
是单调递增函数的充要条件是：对任意，
，
.
表示数组：中的最大值.(1)判断函数
，的奇偶性，并说明理由；(2)讨论函数
，的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、最值与零点（不需要证明）；(3)已知函数
，与都定义在实数集上，且函数是单调递增函数，是周期函数，是单调递减函数，求证：是单调递增函数的充要条件是：对任意，，.
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解题方法
6 . 对于定义域为R的函数
，如果存在常数T，
，使得
是以T为周期的函数，则称函数为正弦周期函数，且称常数T为的正弦周期.
已知函数
满足以下四个条件：
①函数是以T为正弦周期的正弦周期函数；
②函数的值域为R；
③函数在区间
上单调递增：
④
，
(1)分别判断函数
､
是否为正弦周期函数.如果是正弦周期函数，写出它的正弦周期，（不需证明）.
(2)设
，求证：对任意
，存在唯一的
使得
.
(3)求证：对于任意的
，都有
.
，如果存在常数T，，使得是以T为周期的函数，则称函数为正弦周期函数，且称常数T为的正弦周期.已知函数
满足以下四个条件：①函数
是以T为正弦周期的正弦周期函数；②函数
的值域为R；③函数
在区间上单调递增：④
，(1)分别判断函数
､是否为正弦周期函数.如果是正弦周期函数，写出它的正弦周期，（不需证明）.(2)设
，求证：对任意，存在唯一的使得.(3)求证：对于任意的
，都有.
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7 . 给出集合
{
对任意，都有
成立}.
(1)若
，求证：函数
；
(2)由于（1）中函数既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论：命题甲：集合M中的元素都是周期为6的函数：命题乙：集合M中的元素都是偶函数；请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例：
(3)设p为常数，且
，求满足
成立的常数p的值.
{对任意，都有成立}.(1)若
，求证：函数；(2)由于（1）中函数
既是周期函数又是偶函数，于是张同学猜想了两个结论：命题甲：集合M中的元素都是周期为6的函数：命题乙：集合M中的元素都是偶函数；请对两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例：(3)设p为常数，且
，求满足成立的常数p的值.
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解题方法
8 . 悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.
年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为
，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数
，类似的我们有双曲正弦函数
.
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数
的最小值；
①
；
②
；
③
.
(2)求证：
，
.
年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数
的最小值；①
；②
；③
.(2)求证：
，.
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2022-02-01更新
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1148次组卷
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7卷引用：江苏省苏州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
江苏省苏州市2021-2022学年高一上学期期末数学试题湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高一下学期“同济大学”杯数理化联赛数学试题重庆市2023届高三下学期3月月度质量检测数学试题湖南省株洲市南方中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（已下线）重难点突破02 函数的综合应用（九大题型）（已下线）压轴题函数与导数新定义题(九省联考第19题模式）讲（已下线）压轴题三角函数新定义题(九省联考第19题模式）讲
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解题方法
9 . 设函数的定义域为
.若存在常数
，
，使得对于任意
，
成立，则称函数具有性质
.
（1）判断函数
和
具有性质？(结论不要求证明)
（2）若函数具有性质，且其对应的
，
.已知当
时，
，求函数在区间
上的最大值；
（3）若函数具有性质，且直线
为其图像的一条对称轴，证明：为周期函数.
的定义域为.若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质.（1）判断函数
和具有性质？(结论不要求证明)（2）若函数
具有性质，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值；（3）若函数
具有性质，且直线为其图像的一条对称轴，证明：为周期函数.
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2021-08-01更新
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505次组卷
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2卷引用：北京市西城区2020-2021学年高一下学期期末数学试题
10 . 已知函数
，试根据下列要求研究函数的性质.
（1）求证：函数是偶函数；
（2）求证：
是函数的一个周期；
（3）写出函数的单调区间（不必证明），并求函数的最值.
，试根据下列要求研究函数的性质.（1）求证：函数
是偶函数；（2）求证：
是函数的一个周期；（3）写出函数
的单调区间（不必证明），并求函数的最值.
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2021-03-24更新
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245次组卷
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5卷引用：沪教版(2020) 必修第二册 领航者 第7章 三角函数 7.2余弦函数的图像与性质
沪教版(2020) 必修第二册 领航者 第7章 三角函数 7.2余弦函数的图像与性质沪教版(2020) 必修第二册 领航者 一课一练 第7章 7.2 余弦函数的图像与性质（已下线）第04讲 三角函数的图象和性质（考点讲解+分层训练）-2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）（已下线）第15节 三角函数的的图象及性质沪教版(2020) 必修第二册 单元训练 第7章 正弦函数﹑余弦函数的图像与性质（B卷）
