1 . 在锐角中，，若点为的外心，且，则的最大值为___________.

3 . 如图，在中，，，是内一动点，，则的外接圆半径=______，的最小值为____________．

4 . 如图，在正四棱锥中，.从拉一条细绳绕过侧棱和到达点，则细绳的最短长度为___________.

5 . 已知函数.
（1）当,，则的最大值为__________；
（2）若对任意、，都有，则的取值范围为__________.

6 . 共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”.某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，O为图中两个同心圆的圆心，三角形ABC中，，大圆半径，小圆半径，记为三角形OAB与三角形OAC的面积之和.设阴影部分的面积为，当取得最大值时___________.

7 . 已知，分别为双曲线:的左、右焦点，为双曲线的右顶点，过的直线与双曲线的右支交于，，两点（其中点在第一象限），设，分别为，的内心，则的取值范围是______.

8 . 已知为锐角三角形的外心，若，，则的最大值______.

9 . 已知同一平面内的单位向量，，，则的取值范围是________.

10 . 函数，数列满足，其前项和为，则_____.