1 . 如图所示，已知满足，为所在平面内一点.定义点集.若存在点，使得对任意，满足恒成立，则的最大值为______.

2 . 如图，在面积为的中，M，N分别为，的中点，点P在上，若，则的最小值是________．

   

3 . 点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题：
①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为______.

4 . 已知圆，圆，过上一点作的切线与交于不同两点，，点的坐标为，则的取值范围为_________.

6 . 已知正四面体的边长为是空间一点，若，则的最小值为__________.

7 . 已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为__________.

8 . 已知所在平面内一点满足，则点是的__________心填“内”、“外”、“重”、“垂”，若的内角，边，则的最大值是__________．

9 . 已知正方形边长为，是正方形的外接圆的一条动弦，，为正方形边上的动点，则的最大值为______.