1 . 已知为原点，、、为平面内的三点．求证：
(1)若、、三点共线，则存在实数、，且，使得；
(2)若存在实数、，且，使得，则、、三点共线．

2 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足.
(1）求证：三点共线；
(2）求的值；
(3）已知， 的最小值为，求实数的值.

3 . 设，向量，，，．
（1）若，求α；
（2）若，求的值；
（3）若，求证：．

4 . 设向量的夹角为且如果
（1）证明：三点共线.
（2）试确定实数的值，使的取值满足向量与向量垂直.

5 . 已知向量，向量，向量满足．
(1)求证：；（2）若与共线，求实数的值.

6 . 已知点，向量   
（Ⅰ）若点在第二象限，求实数的取值范围
（Ⅱ）若，判断四边形的形状，并加以证明.

7 . 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足,
（1）求证：A，B，C三点共线；
（2）求的值；
（3）已知，的最小值为，求实数m的值．

8 . 设定义在区间上的函数的图象为C，点A、B的坐标分别为且为图象C上的任意一点，O为坐标原点，当实数满足时，记向量,若恒成立，则称函数在区间可在标准下线性近似，其中是一个确定的正数．
（1）求证：A、B、N三点共线
（2）设函数在区间上可在标准下线性近似，求的取值范围；
（3）求证：函数在区间上可在标准下线性近似．
（参考数据：2.718， 0.541）

9 . 已知点是的重心，M是边的中点．
(1)求＋＋；
(2)若过的重心G，且，，，，求证：.

10 . （Ⅰ）如图1，是平面内的三个点，且与不重合，是平面内任意一点，若点在直线上，试证明：存在实数，使得：.
（Ⅱ）如图2,设为的重心,过点且与、（或其延长线）分别交于点，若，，试探究：的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.