1 . 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．
(1)已知数集，请写出数集对应的向量集，并判断是否具有性质（不需要证明）．
(2)若，且具有性质，求的值；
(3)若具有性质，且，为常数且，求证：．

3 . 在中，角A，，对应的边分别为，，，．
(1)求角A；
(2)法国著名数学家奥古斯丁路易斯柯西（AugustinLouisCauchy，1789年－1857年）在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．
①柯西不等式的二维形式是对于任意的，，，，有．请证明上述不等式，并写出等号取到的条件；
②请用柯西不等式的二维形式求的最大值，并写出等号取到的条件；
③在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，当且仅当时等号成立．求的最小值．

4 . 在复平面内复数所对应的点为，O为坐标原点，i是虚数单位.
(1)，计算与；
(2)设，求证：，并指出向量满足什么条件时该不等式取等号.

5 . 对于数集，其中，．定义向量集．若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P．
(1)已知数集，请你写出数集对应的向量集，是否具有性质P？
(2)若，且具有性质P，求x的值；
(3)若X具有性质P，求证：，且当时，．

6 . 已知向量，函数.
(1)求函数的单调增区间和对称轴；
(2)若关于的方程在上有两个不同的解，记为.
①求实数的取值范围；
②证明：.

7 . 设，向量，，．
(1)令，求证：数列为等差数列；
(2)求证：．

8 . （1）对于平面向量，，求证：，并说明等号成立的条件；
（2）对于任意的，求证：；
（3）求的最大值．

9 . 如图，已知椭圆（）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点，为顶点的三角形的周长为，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，其中、在轴的同一侧．

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）设直线、的斜率分别为、，证明；
（3）是否存在题设中的点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 在中，、、分别为角、、的对边，若.
（1）判断的形状，并证明；
（2）若，，为满足题设条件的所有中线段上任意一点（可与端点重合），求的最小值.